Antoshka

Путь к Файлу: /Они / ОНИ УМК / Лекции по ОНИ / Лекция №6-7.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   1
Пользователь:   Antoshka
Добавлен:   28.10.2014
Размер:   128.5 КБ
СКАЧАТЬ

Лекция №6

«Статистический анализ экспериментальных данных технологических исследований»

1. Основные теоретические положения

2. Ошибки опыта и их классификация

3. Статистическая обработка вариационных рядов

4. Оценка дисперсии

1. Одной из главных задач научных исследований является планирование экспериментов и наблюдений. Тщательное планирование должно включать четкую, правильно сформулированную задачу эксперимента, условия его проведения, методы обработки полученных данных.

С помощью математических методов анализа можно уплотнить информацию, получив краткую и наглядную информацию, характеризующую большое количество экспериментальных данных в виде обобщенных параметров совокупности: средней арифметической, медианы, моды, дисперсии и т. д. Математический анализ может служить основой для выбора оптимального решения. На базе статистических подтверждений принимаются или отвергаются гипотезы.

В ходе эксперимента получают определенные результаты в виде описательных и числовых данных. Чтобы получить максимальное количество информации, данные необходимо всесторонне обработать и внимательно проанализировать.

При обработке экспериментальных данных, исходят из закономерностей так называемого нормального распределения значений измеряемой величины. Любое изучаемое множественное явление, свойство или признак, обладает изменчивостью, т. е. под воздействием тех или иных случайных причин варьирует, принимает различные значения.

Характер варьирования может быть изучен, если наблюдения опытных величин и его важнейшие особенности выявляются при графическом изображении. Для построения, которых на оси абсцисс наносят возможные значения определяемой величины /X/, а на оси ординат – число и частоты данных значений /n /.. Этот тип распределения показан на рис.1.

Лекция №6-7Нормальное распределение значений измеряемой величины подчиняется уравнению  Гаусса-Лапласа:

 

Рисунок 7 – Кривая нормального распределения (Распределение Гаусса)

Уравнение Гаусса-Лапласа справедливо при большом числе наблюдений /свыше 30/. Однако в технологических исследованиях приходится иметь дело и с небольшим числом наблюдений, с малыми выборками из генеральной совокупности. В этом случае необходимо пользоваться так называемым – ť распределением Стьюдента, которое зависит только от объема выборки или, точнее, от степени свободы ряда / К= n – 1 /.

Кривые распределения Стьюдента по своей форме напоминают кривые нормального распределения, но при малых значениях числа степеней свободы  /n – 1 / они гораздо медленнее сближаются с осью абсцисс. Начиная уже с 20 наблюдений, распределение Стьюдента довольно хорошо согласуется с кривой нормального распределения Гаусса-Лапласа. Таким образом, по методу Стьюдента возможна обработка и больших вариационных рядов. Излагаемые примеры и методы обработки экспериментальных данных базируются  на t-распределении Стьюдента, исходя из того, что оно наиболее часто применяется в исследовательской работе.

При оценке существенности различий между опытными данными и определении доверительных границ, заключающих наиболее достоверное значение измеряемой величины, исходят из критерия t и уровня значимости Р. В технологических исследованиях считается вполне  достаточным опираться на уровень вероятности α, равный 0, 95/или 95%/. Следовательно, за достоверные события принимают такие, вероятность возникновения которых равна 0,95 и больше. Вероятность противоположного события, которой можно пренебрегать в данном исследовании, принято называть уровнем значимости Р.

Достоверность различия, вывода или заключения считается доказанной, если его вероятность а = 0,95, т. е. составляет 95 шансов из 100. Но достоверность вывода, или заключения, является доказанной, если ему отвечает уровень значимости Р, равный 0,05 или меньший, т.е. против данного утверждения или различия не более 5 шансов из 100. Следовательно, выдвинутое из данных эксперимента положение является достоверным, доказанным.

Применение математической статистики при выполнении экспериментальных исследований позволяет получить ответ на следующие вопросы:

1. Какова погрешность произведенных измерений изучаемой величины и укладывается ли она в допустимые пределы, гарантированные принятым уровнем значимости?

2.Доказано ли влияние изучаемого фактора на те или иные показатели исследуемого объекта или имеющиеся различия между опытными и контрольными данными объясняются случайными ошибками эксперимента?

3.Имеется ли корреляционная зависимость между изучаемыми показателями, и какова теснота их связи?

Эти вопросы являются основными при выполнении опытных работ, а получение ответа на них позволяет экспериментатору сделать правильные, объективные выводы из результатов исследований  и наметить пути и методы решения поставленных задач. Но прежде чем производить математическую обработку результатов эксперимента, необходимо числовые данные привести к виду, удобному для обработки. Данные следует упорядочить и оставить в них то количество цифровых данных, которое согласуется погрешностью измерений.

2 Ошибки опыта и их классификация

При выполнении экспериментальных работ получаются значения измеряемой величины  с большим или меньшим приближением. Точного его значения быть не может вследствие того, что любые измерения содержат более или менее значительные погрешности. Это значит, что в опытных данных должны приводиться не только числовые значения изучаемых величин, но и степень их точности. По своему характеру ошибки опыта бывают:

1. систематические; 2. случайные; 3. грубые или промахи.

Промахами называются грубые ошибки, сильно изменяющие опытные данные. Сюда относятся, например, ошибки связанные с неверными отсчетами показаний на шкалах приборов, с потерями навесок, растворов и т. д. Результаты этих определений отбрасываются при вычислении среднего значения.

Систематические ошибки возникают вследствие неправильных показаний прибора, неточной калибровки измерительной посуды, несовершенства методики опыта и односторонних внешних воздействий. Эти ошибки оказывают постоянное  /одностороннее/ влияние на данные опытов. В результате изучения причин возникновения ошибок в данные измерений могут быть внесены необходимые поправки.

Случайными называются не определенные по величине и знаку ошибки, а возникающие вследствие одновременного действия различных причин, не находящихся во взаимной зависимости. В отличие от систематических ошибок случайные ошибки не могут быть устранены  или исключены введением каких-либо поправок. Однако их можно уменьшить увеличением числа параллельных измерений. Влияние случайных ошибок на результат измерения учитывают теоретически путем обработки серии параллельных измерений данной величины с помощью методов математической статистики.

Ошибкой измерения называют разность между результатами измерения и истинным значением измеряемой величины:

Х – а = + х,

где: х – ошибка; Х – результат измерения; а –истинное значение.

Абсолютная и относительная ошибка. При оценке результатов опыта необходимо различать понятия об абсолютных и относительных ошибках.

Абсолютная ошибка α это разность между полученным результатом  Х и истинным значением определяемой величины а: Х – а = +α.

Но так как истинное значение остается неизвестным, а в результате опыта получается лишь вероятное наибольшее или среднее значение измеряемой величины, то за абсолютную ошибку принимают разность между отдельным определением x и средним значением М:  x – М = +α. Различают еще предельную абсолютную ошибку α пр, т. е. Максимально допустимую ошибку при проведении данного опыта. За предельную ошибку принимают половину деления шкалы.

Например,   если  цена  деления  пипетки 0,1мл, то  предельная  ошибка α пр = ½ * 0,1 – 0,05мл. Абсолютная ошибка выражается в тех же единицах, в которых измерялась данная величина.

Относительной ошибкой Δх % называется отношение абсолютной ошибки к измеряемой величине / ее среднему значению/, выраженное в процентах

Δх = α/М*100 . Предельной относительной ошибкой + Δх % называют

максимальную ошибку, которая считается еще допустимой при проведении данного измерения. Абсолютная ошибка не дает возможности сравнить, насколько точно проводились измерения в поставленных опытах. Такая оценка может быть произведена с помощью относительной ошибки, которая чаще всего выражается в процентах, в то время как абсолютная ошибка – в единицах измерения среднего результата.

3 Статистическая обработка вариационных рядов

Ряд значений изучаемой величины, полученный в результате опыта, называется вариационным рядом. Эти значения колеблются в определенных пределах, варьируют, чем объясняется название «вариационный ряд». Отдельные члены ряда обозначаются через х, где   может принимать значения  от 1 до n . Таким образом, ряд имеет следующее математическое выражение

 

                                Х1, Х2, Х3,……….Хn   

 

Различают простые и сложные ряды. Простым называется ряд, в котором не повторяются отдельные значения. Примером может служить указанный ряд /1/.

Сложным называется ряд, в котором отдельные значения изучаемой величины  /признаков/ повторяются, имеют те или иные частоты. Частотой называется число показывающее, сколько раз повторяется одно и тоже значение  у отдельных членов ряда. В общем виде сложный ряд имеет обозначение

                     Х1, Х2, Х3, . . . . . Х  , п , п , п , . . . .п  /2/

Лекция №6-7Вариационные ряды могут иметь упорядоченный и неупорядоченный вид.

 

Математическая обработка результатов опыта начинается  с вычисления средней арифметической величины.

Среднее арифметическое - очень важный параметр положения процесса, применяемый в технической статистике. Этот параметр определяет центр распределения измеряемых величин при нормальном распределении.

Среднее арифметическое – это частное от суммы всех измеренных значений xi к их числу n, т.е. суммируются все отдельные значения, и полученный результат делится на количество значений.

Лекция №6-7

 

Где  ∑  - сумма или общее количество, хi – отдельное значение и  n - число отдельных значений.

Важнейшей характеристикой центра распределения , кроме средней арифметической , является мода.

Мода – это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, если содержание сухих веществ в различных партиях яблок соответственно равно 10.2, 10.2, 12.5, 12.5, 12.5, 13.3, 13.8,  то мода равна 12.5%.

В статистическом анализе применяют структурные средние – медиану, которая не зависит  от крайних значений признака и представляет собой среднее или центральное значение группы переменных.

Например, если пять значений  х расположены в следующей последовательности  х1, х2, х3, х4, х5,  то значение медианы будет равно  х3 , так как равное число значений расположено до и после х . Если число значений четное, например  от  х1  до х6  то медиана будет равняться среднему из двух срединных значений  х3+х4/2.

В случае нормального распределения значения среднего, медианы и моды совпадают.

4. Параметр местоположения может указать на наиболее часто встречающееся значение. Величина разброса помогает узнать, как сильно отклоняются отдельные размеры от некого среднего значения.

Показатели разброса – это размах и стандартное отклонение. Это значения, которые высказывают предположения о разбросе измеряемых величин анализируемой выборки около центра. При помощи этих показателей можно, например, проверить, соблюдены ли требования потребителей.

Размах – это самое простое предположение о разбросе измеряемых величин выборки. Размах есть разница между самым большим значением в выборке (xmax) и самым маленьким (xmin) значением.

Поэтому размах имеет всегда положительный знак. Отрицательных размахов не бывает!

R = xmax – xmin

Пример 1:

Лекция №6-7В одной партии шоколадных конфет выбрали для проверки диаметра 10 единиц. При этом измерения велись в мм и представлены на иллюстрации в упорядоченном виде (рис.3).

 

Рисунок 3 – Нахождение размаха (пример 3)

Размах определяет разброс выборки между самым большим и самым маленьким значением.

Размах показывает, в каких пределах лежат измеряемые величины, однако не дает никакой информации относительно формы распределения, а также насколько широко распределение по отношению к центральному значению.

Стандартное отклонение (s) – это самый важный параметр разброса и, будучи характеристикой для определения формы и ширины, он дает более точные данные по сравнению с размахом.

Математическая формула для расчета стандартного отклонения:

Лекция №6-7

 

 

Стандартное отклонение – это квадратный корень из возведенного в квадрат среднего отклонения всех измеряемых величин от среднего значения.

Все шаги по вычислению стандартного отклонения рассмотрены на примере 3. Значение размаха R = 8 мм.

Вопрос: Чему равно стандартное отклонение для 10 значений диаметра единиц в выборке? (рис.10).

Сначала рассчитывается среднее арифметическое значений по формуле, подставляя в нее известные значения:

Лекция №6-7

 

В формулу для s подставляют значения от x1 до x10 для xi и добавляют значение n. Получается следующий расчёт:

Лекция №6-7

 

 

Под корнём проводят расчеты и получают s = 2,11.

Стандартное отклонение 10-ти значений выборки = 2,11, т.е. в районе значения 8 = 19,7 в пределах промежутка s = 2,11 или (8 ± 1s) = (19,7 ± 2,11) находится большинство значений.

Размах имеет преимущество, что его можно вычислить без калькулятора. Недостаток при этом заключается в том, что рассматривают самое маленькое и самое большое значения, но не положение этих значений. Так, например, некоторые находящиеся далеко за пределами измеренные величины могут привести к якобы большому разбросу, хотя, на самом деле, большинство измеренных величин «лежат» рядом друг с другом. Это может повлечь за собой ошибку при анализе распределения величин. К чему может привести эта ошибка, вы узнаете в углублённом курсе статистики.

Стандартное отклонение s делает вывод о разбросе процесса с учетом местоположения большинства измеряемых величин, в то время как размах делает вывод о разбросе с учетом только разницы между самым маленьким и самым большим значением в выборке.

Для характеристики средней величины х служит средняя квадратичная ошибка среднего арифметического, которая  обозначается  m и сокращенно называется ошибкой средней величины. Ошибка средней величины может быть вычислена по формуле:

Лекция №6-7

 

Лекция №6-7Дисперсия – это квадрат стандартного отклонения. Дисперсия совокупности значений подсчитывается по формуле:

Лекция №6-7

и служит показателем распределения внутри совокупности.

Распределение может быть

- случайным, при х=1;

- групповым, при х<1;

- нормальным, при х>1.

Ход дальнейшей статистической обработки данных будет зависеть от того, оценивается ли вариационный ряд как таковой или полученное среднее значение сравнивается со средним значением другого /контрольного / ряда и затем производится оценка существенности полученных данных.

Оценка достоверности различия при сравнении дисперсии проводится с помощью критерия Фишера и устанавливает значимость влияния фактора.

При этом определяется расчетный критерий Фишера.

Лекция №6-7

Далее расчетный критерий сравнивается с табличным, найденным при α=0,95 и степени свободы К1=n1-1 и К2=n2-1.

В том случае, когда Fтабл>Fрасч., Ир расхождение считается случайным, несущественным и можно сказать, что данные принадлежат к одной генеральной совокупности.

С помощью критерия Стьюдента (t) оценивают достоверность между средними выборок.

Если tрасч>tтабл то степень влияния и разница между показателями существенная, и чем выше данные показателя, тем существеннее различия.

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика