andrey

Путь к Файлу: /Таганрогский радиотехнический университет / Конспект ЭАУ / Часть 1.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   4
Пользователь:   andrey
Добавлен:   24.01.2015
Размер:   522.0 КБ
СКАЧАТЬ

1. ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ

1.1. Основные понятия и определения

Звуковой волной называется процесс постепенного распространения деформации (сжатия или разрежения) в сплошной среде с конечной скоростью, называемой скоростью звука.

Звуковая волна может возникать и распространяться только в такой среде, которая обладает определенной упругостью (гибкостью) и плотностью. Сплошная среда, обладающая только этими двумя физическими свойствами, называется идеальной; в отличие от нее реальная среда характеризуется еще трением (вязкостью) и другими диссипативными свойствами, приводящими к необратимым потерям энергии волнового движения. Область среды, в которой распространяются звуковые волны, называется звуковым полем.

Основной интерес для нас представляют звуковые поля в газах. Поэтому под идеальной средой мы будем подразумевать в дальнейшем идеальный газ, в которых две частицы могут взаимодействовать (отталкиваться или притягиваться) лишь в том случае, когда их относительное смещение проходит вдоль соединяющей их прямой линии; при тангенциальном же смещении этих частиц силы взаимодействия не возникают. Последнее обстоятельство приводит к тому, что звуковая волна является продольной волной, при распространении которой частицы газа совершают колебания вдоль направления распространения.

Через любую фиксированную точку звукового поля при распространении синусоидальной звуковой волны будут проходить попеременно деформации сжатия и разрежения. В соответствии с этим в рассматриваемой точке будет изменяться полное давление, увеличиваясь при прохождении сжатия и уменьшаясь в момент следования разрежения (рис. 1.1).

Часть 1

Рис. 1.1

Разность между мгновенным значением полного давления pп и статическим давлением среды рст называется звуковым давлением p. Иначе говоря, в каждый момент времени мгновенное давление в рассматриваемой точке равно сумме статического и звукового давлений

Часть 1

(1.1)

Фазе сжатия соответствует положительное значение звукового давления, фазе разрежения – отрицательное. Звуковое давление p является одной из переменных величин, характеризующих звуковое поле. Оно является функцией времени и координат рассматриваемой точки. Давление – сила, действующая на единицу площади, т.е. р = F / S. Поэтому единица его измерения – н/м2: 1 н/м2 = 1 Па (паскаль). В системах звуковоспроизведения имеют дело со звуковыми давлениями, по амплитуде, не превышающими 100 Па, т.е., по крайней мере, в 1000 раз меньше, чем нормальное атмосферное давление рст, В каждой точке среды давление действует равномерно во все стороны, не имея преобладающего направления, т.е. является величиной скалярной.

При распространении звуковой волны каждая частица среды участвует в передаче деформации, совершая колебательные движения около положения равновесия, причем в фазе сжатия частица перемещается по направлению распространения волны, а в фазе разрежения – в противоположном направлении. Колебательная скорость таких частиц v, приобретенная ими в процессе передачи деформации, является второй переменной, характеризующей звуковое поле; она также является функцией времени и пространственных координат рассматриваемой частицы. Колебательная скорость в отличие от звукового давления есть величина векторная, так как в каждый момент времени имеет определенное направление, совпадающее с направлением распространения звуковой волны или противоположное ему. Единица измерения колебательной скорости – м/сек.

Те или иные особенности звукового поля, как правило, являются следствием формы фронта звуковой волны, создающей данное поле. Волновым фронтом называют поверхность, проходящую через частицы среды, колеблющиеся синфазно, в результате распространения звуковой волны. Направление распространения звуковых волн называется звуковым лучом. Звуковые лучи перпендикулярны фронту волны. В физической акустике обычно рассматриваются три типа звуковых волн: плоские, имеющие фронт в виде плоскости, нормальной к направлению распространения; сферические – с фронтом в виде сферы и цилиндрические, форма фронта которых имеет вид боковой поверхности цилиндра. Перечисленные формы фронта звуковых волн имеют вид симметричных поверхностей, площадь которых, при надлежащем выборе начала координат, может быть выражена с помощью одной пространственной координаты. Это обстоятельство существенно упрощает вывод математических соотношений, характеризующих звуковое поле, так как позволяет свести трехмерную пространственную зависимость переменных р и v, по существу, к одномерной.

Вопросы распространения и излучения звуковых волн, расчета звуковых полей и т.п. решаются с помощью так называемого волнового уравнения. Для его вывода используются исходные дифференциальные уравнения, отражающие физические особенности идеальной жидкости или газа: уравнение движения, учитывающее инерционность среды, уравнение непрерывности среды, являющееся отражением закона сохранения материи, и, наконец, уравнение состояния среды, учитывающее ее сжимаемость.

При составлении и решении этих уравнений делается ряд допущений, в числе которых, прежде всего, следует указать на предположение о малости амплитуд колебаний, в связи с чем зависимости, связывающие звуковое давление и смещение частиц среды, предполагаются линейными. Далее, поскольку взаимодействие между частицами идеальной жидкости или газа возникает лишь при взаимном смещении (приближение или удаление) по прямым линиям, то никакое другое смещение (например, вращательное) не может вызвать возникновения такого взаимодействия, а, следовательно, и звукового давления. И наоборот, звуковое давление не может способствовать вращательному смещению частиц среды. Математически это означает, что в звуковом поле отсутствуют вихри. Движение остается безвихревым, если оно было таким первоначально.

Наконец, еще одним допущением является упоминавшееся ранее предположение об отсутствии внутренних потерь энергии в среде. Все эти допущения позволяют упростить математическую задачу, а полученные результаты, несмотря на перечисленные ограничения, оказываются пригодными для решения большей части практических задач.

Принятые ограничения недопустимы для расчета волн, распространяющихся на большое расстояние. В этом случае сказываются вязкость, теплопроводность и турбулентность реальной среды, приводящие к ослаблению звуковой волны с расстоянием.

1.2. Волновое уравнение

Для вывода волнового уравнения необходимо получить сначала упомянутые в п. 1.1 исходные уравнения.

Фронт волны обычно представляет собой поверхность, симметричную относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 1.2).

Часть 1

Рис. 1.2

Приняв эти плоскости за координатные, и выбрав начало координат в одном из главных центров кривизны 0 (ближнем), мы можем представить площадь S поверхности фронта волны как функцию одной лишь пространственной переменной r, взятой в направлении нормали к этой поверхности. Для случаев сферической и цилиндрической волны задача упрощается, поскольку у сферы центры кривизны в обоих сечениях совпадают, а у цилиндра один из радиусов кривизны обращается в бесконечность. Поэтому при выводе исходных уравнений звукового поля и волнового уравнения мы будем пользоваться лишь одной пространственной координатой r (или x в случае плоской волны).

Уравнение движения. Звуковая волка, распространяясь в направлении r (рис. 1.3), создает у поверхности S, совпадающей с фронтом волны, звуковое давление р, а у поверхности S', отстоящей от первой на расстоянии dr, – звуковое давление p + dp.

Часть 1

Рис. 1.3

В результате этого, находящийся между поверхностями слой газа толщиной dr под действием силы

Часть 1

придет в колебательное движение со скоростью v. Пренебрегая малой разностью между площадями S и S', т. е. полагая S'=S, можем записать эту силу следующим образом:

Часть 1

(1. 2)

Сила, вызвавшая колебания рассматриваемого слоя, будет уравновешена его инерционной реакцией, которую можно выразить как произведение массы слоя рпSdr на его ускорение, т. е.

Часть 1

(1. 3)

Здесь pп – полная плотность газа, выражаемая суммой статической p0 и переменной p плотностей

Часть 1

(1.4)

Приравняв (1.2) и (1.3) и произведя сокращения одинаковых величин, получим

Часть 1

Переход к частной производной в правой части последнего выражения объясняется тем, что звуковое давление есть функция двух переменных r и t.

В этом уравнении полную плотность pп можно заменить статической плотностью p0, так как переменная составляющая плотности p при тех значениях звукового давления, о которых говорилось в п. 1.1, составляет ничтожную долю p0. Поэтому окончательно можем записать уравнение в следующем виде:

Часть 1

(1. 5)

Как видим, оно учитывает инерционность среды и представляет собой закон инерции Ньютона, написанный для единицы объема сплошной среды. Знак минус указывает на взаимно обратный характер направлений прироста давления и движения частиц среды: если давление увеличивается в направлении r, то скорость частиц имеет противоположное направление.

Уравнение непрерывности. Для вывода этого уравнения воспользуемся рис. 1.4.

Часть 1

Рис. 1.4

Нас будет интересовать изменение массы вещества в промежутке между поверхностями S и S + dS при строго фиксированном положении этих поверхностей. Прирост (или убыль) массы можно найти как разность между количествами вещества, входящего в рассматриваемый объем и выходящего из него за время dt. Эта разность обусловлена неодинаковыми объемными скоростями потоков через поверхности S и S + dS (под объемной скоростью понимается, произведение vS):

Часть 1

Пренебрегая членом второго порядка малости, получим:

Часть 1

(1. 6)

Ту же величину, т.е. изменение массы в объеме Sdr, можно выразить также через происшедшее за время dt изменение плотности dpп

Часть 1

(1. 7)

Приравняв (1.6) и (1.7), запишем

Часть 1

Переходя к частным производным, и имея в виду, что ∂pп/∂r = ∂p/∂t, окончательно получим

Часть 1

(1. 8)

Это и есть уравнение неразрывности среды. Оно отражает тот очевидный факт, что изменение объемной скорости потока газа на каком-либо участке рассматриваемого пространства сопровождается изменением плотности вещества без разрыва среды. Знак минус в уравнении (1.8) обусловлен тем, что увеличение объемной скорости вдоль оси r вызывает уменьшение плотности среды, и наоборот.

Сравнивая переменные, входящие в уравнения (1.5) и (1.8), можем видеть, что совместное решение этих уравнений затруднительно, так как уравнение движения связывает изменение давления p и скорости v, а уравнение непрерывности – плотности p и скорости v. Это затруднение можно обойти, если предположить, что для каждой среды существует некоторая функция, связывающая изменение давления и плотности. Пусть, например, связь давления и плотности выражается функцией

Часть 1

Тогда согласно правилу дифференцирования сложных функций

Часть 1

Подставив сюда значение ∂p/∂t из (1.8) и обозначив

Часть 1

(1. 9)

получим

Часть 1

(1. 10)

Это уравнение представляет собой другую форму уравнения неразрывности, связывающую давление p и скорость частиц среды v. Для пояснения физического смысла коэффициента μ представим выражение (1.9) в несколько ином виде

Часть 1

(1. 11)

где V – объем, который занимала рассматриваемая масса вещества до деформации, dV – изменение этого объема в результате деформации.

Соотношение (1.11) представляет собой закон Гука для объемной деформации dV/V, а коэффициент μ есть модуль объемной упругости среды, или просто объемная упругость, размерность которой, как и у давления – н/м2.

Уравнение состояния. В условиях звуковых колебаний в области сжатия среды происходит ее нагревание, в области разрежения – охлаждение. Поскольку вдоль поверхности фронта деформация одинакова и температура T неизменна, то выравнивание разности температур 2ΔТ участков противоположной деформации (рис. 1.5) могло бы происходить только за счет перехода тепла из зоны сжатия в зону разрежения, т.е. в направлениях, нормальных к фронту.

Однако опыт показывает, что вследствие малой теплопроводности газов за время периода колебания такой переход не успевает произойти, и выравнивание температур не имеет места. Поэтому для вычисления объемной упругости следует использовать адиабатическое уравнение Пуассона, основанное на предположении отсутствия теплообмена деформируемого участка с окружающей средой:

Часть 1

(1. 12)

Здесь g – отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для воздуха g = 1,4).

Часть 1

Рис. 1.5

Можно предположить, что с понижением частоты колебаний, когда процесс деформации будет происходить достаточно медленно, адиабатический закон может нарушаться, так как за время периода колебаний температура между нагретыми и охлажденными участками будет успевать выравниваться. Это предположение на практике не оправдывается, так как участки с наибольшей разницей температур располагаются на расстоянии полуволны друг от друга рис. 1.5, и хотя при понижении частоты увеличивается продолжительность времени деформации, но в той же степени увеличивается расстояние между слоями с разной температурой. Поэтому адиабатические условия (отсутствие теплообмена) не нарушаются и на самых низких (инфразвуковых) частотах.

Воспользовавшись уравнением Пуассона, вычислим теперь объемную упругость μ. С этой целью запишем уравнение (1.12) в следующем виде:

Часть 1 или Часть 1

(1.13)

Продифференцировав последнее уравнение и имея в виду, что dрп = dp и pп ≈ p0, получим

Часть 1

или

Часть 1

(1. 14)

Уравнение (1.14) представляет собой уравнение состояния в дифференциальной форме. Непосредственно из этого уравнения можем найти модуль объемной упругости

Часть 1

(1. 15)

Потенциал колебательной скорости. Как уже указывалось, звуковое поле характеризуется двумя переменными: скалярной величиной p, т. е. звуковым давлением, и векторной величиной v, или колебательной скоростью. Однако при решении задач принципиального характера, не завершающихся конкретными расчетами звукового поля, наличие двух переменных величин придает излишнюю громоздкость математическим выкладкам. Поэтому вместо отыскания переменных p и v в акустике обычно ищут некоторую формальную переменную Ф, называемую потенциалом колебательной скорости и представляющую собой скалярную величину, связанную с колебательной скоростью соотношением

Часть 1

(1. 16)

где r, как и ранее, направление распространения звуковой волны.

Введение такой переменной означает, что векторное поле колебательной скорости заменяется скалярным полем ее потенциала. В теории поля доказывается, что такая замена возможна, если заменяемое векторное поле является безвихревым. Это требование было в числе тех допущений, которые мы приняли в самом начале настоящей главы (см. п. 1.1).

Для того чтобы установить связь потенциала Ф с звуковым давлением p, воспользуемся уравнением движения (1.5). Подставив в него значение v из (1.16), получим

Часть 1

Поскольку было поставлено условие неразрывности среды, то все переменные, характеризующие звуковое поле, в том числе и Ф, являются непрерывными функциями пространственной координаты и времени. Поэтому в последнем выражении мы можем поменять порядок дифференцирования и записать его следующим образом:

Часть 1

Следовательно,

Часть 1

(1. 17)

Произвольная постоянная, которая должна была появиться при интегрировании предыдущего уравнения, принята равной нулю, так как она имеет физический смысл статического давления.

Волновое уравнение. Воспользуемся теперь переменной Ф для вывода волнового уравнения. С этой целью, перепишем уравнение непрерывности (1.10), выразив в нем колебательную скорость и звуковое давление соотношениями (1.16) и (1.17):

Часть 1

или

Часть 1

(1. 18)

где

Часть 1.

(1. 19)

Уравнение (1.18) носит название волнового уравнения в форме Вебстера. В нем имеется только одна неизвестная функция координат и времени Ф(r, t), определив которую, можно вычислить по формулам (1.16) и (1.17) звуковое давление и колебательную скорость в любой точке звукового поля.

1.3. Плоская волна

Фронт плоской волны представляет собой нормальную к ее направлению распространения плоскую поверхность, площадь которой не зависит от расстояния. Поэтому при выборе начала координат для описания свойств плоской волны нельзя указать на какую-либо предпочтительную точку на оси расстояний, как, например, центр сферы для сферической волны. В связи с этим координата, определяющая пространственное положение рассматриваемой точки в поле плоских волн, может иметь и отрицательные значения. Вынося в (1.18) S, как постоянную величину, за знак производной и сократив ее, получим волновое уравнение плоской волны

Часть 1

(1. 20)

Решение данного уравнения имеет вид

Часть 1

(1. 21)

Здесь А и В – некоторые постоянные величины, имеющие смысл амплитуды потенциала Ф.

Это выражение содержит два члена: первый описывает плоскую звуковую волну, распространяющуюся в положительном направлении, а второй – в отрицательном направлении оси r.

Величина c0 имеет смысл скорости распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, или скорости звука. Поскольку каждая из волн распространяется в неограниченной среде в своем направлении, мы можем, не нарушая общности, рассмотреть одну из них, например волну, движущуюся в положительном направлении. Воспользовавшись выражениями (1.16) и (1.17), определим звуковое давление и колебательную скорость в поле этой волны:

Часть 1

(1. 22)

Часть 1

(1. 23)

Величина k =ω/c0 называется постоянной распространения звуковой волны.

Полученные выражения позволяют сформулировать свойства плоской звуковой волны. Во-первых, сопоставляя выражения (1.22) и (1.23), видим, что звуковое давление и колебательная скорость в поле бегущей плоской волны совпадают по фазе. Это свидетельствует о чисто активном характере звуковой энергии, переносимой плоской волной. Во-вторых, выделяя из (1.22) и (1.23) амплитуды давления рт и скорости vm

Часть 1

(1.24)

отмечаем, что звуковое давление и колебательная скорость в плоской звуковой волне от расстояния не зависят. Этот результат справедлив, строго говоря, лишь для идеальной среды, так как в реальной среде наличие внутренних потерь энергии приводит к некоторому уменьшению амплитуд давления и колебательной скорости по мере распространения волны.

Взяв отношение давления p к колебательной скорости v, получим величину z0, называемую волновым сопротивлением плоской волны

Часть 1

(1. 25)

Соотношение (1.25) очень напоминает закон Ома для электрической цепи, содержащей источник “тока” v с “напряжением” p и одно лишь активное сопротивление p0c0 (рис. 1.6). Такую цепь будем считать эквивалентной схемой звукового поля плоской волны.

Часть 1

Рис. 1.6

Для определения волнового сопротивления надо знать величину скорости звука c0, которая может быть вычислена по формуле (1.19). Подставив в эту формулу значение модуля объемной упругости воздуха из (1.15), получим

Часть 1

(1.26)

При температуре 200С и нормальном атмосферном давлении (1,013*105 н/м2) плотность воздуха p0 ≈ 1,22 кг/м3. Следовательно, при этих условиях скорость звука в воздухе

Часть 1

а волновое сопротивление воздуха p0c0 = 1,22*3,41*102 = 4,15*102 кг/см2.

Как было показано в п. 1.2, адиабатический закон деформации не нарушается при изменении частоты звука. Поэтому величина адиабатического модуля упругости μ = γρcт, а следовательно, и скорость звука в воздухе c0 от частоты не зависят. Длина звуковой волны λ, численно равная расстоянию, которое волна проходит за время T одного периода колебания, может быть вычислена на любой частоте f как

Часть 1.

(1.27)

Пусть плоский поршень с площадью S = πa2 (a – радиус поршня) помещен у входа в бесконечно длинную трубу (рис. 1.7), диаметр которой 2a << λ. Так как длина волны λ значительно превышает радиальный размер сечения трубы, то звуковая волна, образующаяся при колебаниях поршня, может распространяться только вдоль трубы, т.е. в трубе образуется плоская бегущая волна.

Часть 1

Рис. 1.7

При этом каждая единица площади поршня, обращенная в сторону трубы, будет встречать сопротивление, равное волновому. Полное же механическое сопротивление, которое встречает поршень со стороны воздуха в трубе, будет равно

Часть 1.

Эта величина называется сопротивлением излучения звука.

1.4. Сферическая волна

Волновое уравнение сферической волны может быть получено из общей формулы (1.18) подстановкой площади сферы S = 4nr2. Тогда

Часть 1

(1. 28)

Путем дифференцирования можно убедиться, что выражение в скобках представляет собой вторую производную по r от произведения (rФ), т. е.

Часть 1

(1. 29)

Подставив (1.29) в (1.28) и помножив левую и правую части уравнения на r, получим волновое уравнение сферической волны

Часть 1

(1. 30)

Это уравнение по своей структуре похоже на волновое уравнение плоской волны (1.20) с той разницей, что вместо переменной Ф здесь входит произведение rФ. Поэтому по аналогии с выражением (1.21) можем написать решение (1.30) в виде

Часть 1

(1. 31)

Первый член правой части выражает здесь волну, распространяющуюся во все стороны из центра сферы, второй – волну, сходящуюся к центру. Так как второй тип волны может встретиться лишь в виде исключения, в дальнейшем мы будем рассматривать только расходящуюся волну, для которой в соответствии с (1.31) можем написать

Часть 1

(1.32)

Пользуясь соотношениями (1.16) и (1.17), определим звуковое давление и колебательную скорость в поле шаровой волны:

Часть 1

(1.33)

Часть 1

(1. 34)

Из (1.37) можем выделить амплитуду звукового давления

Часть 1

(1. 35)

Выражение (1.33) позволяет выявить первую особенность сферической волны: амплитуда звукового давления в поле шаровой волны изменяется обратно пропорционально расстоянию. Это свойство является естественным результатом расширения площади фронта волны S = 4nr2

Рассматривая выражение (1.35) для мгновенного значения колебательной скорости, можем сформулировать еще одно свойство сферической волны: колебательная скорость в поле сферической волны имеет две составляющие. Одна из них совпадает по фазе с давлением и называется активной составляющей, а вторая – отстает по фазе от давления на угол π/2 и называется реактивной составляющей.

В соответствии с (1.34) можем написать следующие выражения для амплитуд активной νма и реактивной νмр, составляющих скорости:

Часть 1

(1. 36, а)

Часть 1

(1.36, б)

Активная составляющая колебательной скорости уменьшается с расстоянием в такой же мере, как и звуковое давление. Реактивная же составляющая, обратно пропорциональная квадрату расстояния, убывает значительно быстрей, так что уже при r = λ она составляет менее 16% активной составляющей. Поэтому на расстояниях r > λ с реактивной составляющей практически можно не считаться. Сферическая волна в этом случае приближается по своим свойствам к плоской волне.

Напротив, при r<<λ. преобладающей является реактивная скорость, так что в этом случае можно приближенно считать общую колебательную скорость v равной только vp. Это позволяет, в частности, понять физический смысл коэффициента А, который согласно (1.36, б) равен

Часть 1(при r<< λ).

Отсюда ясно, что А есть амплитуда объемной скорости потока вещества, приводимого в движение источниками сферической волны в телесном угле, равном единице.

Выразив величину Aexp[j(ωt-kr)] в соответствии с уравнением (1.33) через мгновенное значение давления p и подставив в (1.34), получим

Часть 1

(1.37)

Таким образом, поле сферической волны можно представить в виде эквивалентной электрической схемы из двух параллельно соединенных сопротивлений: активного p0c0 и инерционного jωp0r (рис. 1.8).

Часть 1

Рис. 1.8

На рис. 1.9 представлена векторная диаграмма, составленная на основе эквивалентной схемы, изображенной на рис. 1.8.

Часть 1

Рис. 1.9

Она показывает фазовые соотношения между звуковым давлением и составляющими колебательной скорости в поле сферической волны. С помощью этой диаграммы можем определить, в частности, угол сдвига по фазе между давлением р и колебательной скоростью v

Часть 1

(1. 38)

Эквивалентная схема позволяет вычислить волновое сопротивление z0 в поле сферической волны

Часть 1

или, поделив числитель и знаменатель на р0c0

Часть 1.

(1. 39)

Простейшим излучателем сферической волны является так называемая пульсирующая сфера (рис. 1.10), величина радиуса которой изменяется по синусоидальному закону (а + ξmsinωt) (излучатель нулевого порядка).

Часть 1

Рис. 1.10

Единица поверхности такой сферы при пульсации преодолевает сопротивление, определяемое формулой (1.39) при r = а. Полное же механическое сопротивление, которое встречает сфера со стороны среды, называется сопротивлением излучения сферической волны и может быть найдено как

Часть 1.

Здесь S = 4πa2- площадь поверхности пульсирующей сферы.

Помножив числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число (1 ‑ jka) и отделив вещественную часть от мнимой, получим

Часть 1.

(1.40)

Вещественная часть этого выражения  rиз, является активным, а мнимая – реактивным сопротивлением излучения. Обе части являются функциями безразмерного частотного параметра

Часть 1.

(1. 41)

Величина этого параметра, как ясно из (1.41), показывает соотношение длины максимальной окружности сферы с длиной волны излучаемого ею звука.

На рис. 1.11 представлены графики зависимости активной и реактивной составляющих сопротивления излучения, нормированных относительно p0c0S, т. е.

Часть 1.

(1. 42)

Величина p0c0S представляет собой максимально возможное значение сопротивления излучения, достигаемое лишь в области больших значений параметра ka, когда ka >> 1 или 2πа >> λ. В этом случае, пренебрегая в знаменателе выражений (1.42) и единицей, имеем:

Часть 1

Таким образом, когда размеры излучателя велики сравнительно с длиной волны излучаемого звука, сопротивление излучения носит в основном активный характер.

Часть 1

Рис. 1.11

Чтобы понять, физический смысл реактивной составляющей сопротивления излучения (а, следовательно, и волнового сопротивления), рассмотрим другой предельный случай, когда размеры излучателя малы сравнительно с длиной волны λ:

2pa << l или ka << 1

Тогда в знаменателе выражений (1.42) можем пренебречь величиной (ka)2 сравнительно с единицей и получить приближенно

Часть 1.

(1. 43, а)

Часть 1.

(1.43, б)

Как видим, в этой области активное сопротивление излучения пропорционально квадрату частоты и площади излучателя, а реактивное - частоте и некоторой массе, равной 4πρ0α2. Следовательно, реактивное сопротивление излучения представляет собой инерционное сопротивление некоторого объема воздуха, совершающего синфазные с поверхностью сферы колебания и не участвующего в создании деформаций сжатия и разрежения, т. е., по-существу, в образовании звуковой волны. Роль этой части сопротивления излучения заключается лишь в том, что она увеличивает массу подвижной системы излучателя, присоединяя к ней некоторую соколеблющуюся массу среды

mсок = 4pp0a3.

(1.44)

Поэтому в дальнейшем, применяя термин «сопротивление излучения», мы будем иметь в виду лишь активное сопротивление излучения rиз.

1.5. ЭНЕРГИЯ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ

Энергия звукового поля является функцией звукового давления р и колебательной скорости v в каждой точке среды. Наиболее распространенной энергетической величиной, характеризующей звуковое поле, является интенсивность звука I, под которой понимается средний поток звуковой энергии, проносимой звуковой волной в одну секунду через единичную площадку, нормальную к направлению распространения звука. Интенсивность звука измеряется в вт/м2.

В соответствии с определением I можно установить простое соотношение между акустической мощностью излучателя Р и интенсивностью звука в данной точке поля

Часть 1,

(1.45)

где Sфр - площадь фронта волны, включающая данную точку пространства, находящуюся на расстоянии r от центра образования волны. В случае сферической волны Sфр = 4πr2, так что интенсивность на расстоянии r от источника равна

Часть 1,

(1.46)

Если источник излучает направленную волну с расширяющимся фронтом, то площадь фронта Sфр всегда пропорциональна квадрату расстояния r. Поэтому независимо от формы фронта волны при расширяющемся фронте интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Выведем теперь на примере сферической волны соотношения, связывающие интенсивность со звуковым давлением и колебательной скоростью.

Пусть на расстоянии r от центра сферической волны под действием звукового давления р частицы среды совершают колебательное движение со скоростью v. За время dt частицы сместятся на расстояние dr = vdt. При этом через единицу площади фронта будет перенесена энергия

Pdr = pvdt

Интенсивность звука может быть определена как среднее значение этой энергии за достаточно длительный промежуток времени Т

Часть 1

(1. 47)

Для синусоидальных колебаний время Т можно принять равным одному периоду колебания. Принимая во внимание, что в сферической волне, согласно (1.38), колебательная скорость отстает по фазе от звукового давления на угол φ, можем подставить в (1.47) мгновенное значение р и ν.

p=pmcosωt; ν = νmcos (ωt- φ).

Тогда

Часть 1

(1.48)

В акустике, как и в электротехнике, пользуются эффективными значениями звукового давления рз и скорости vз Для синусоидальных колебаний

Часть 1

Подставив эти значения в (1.52), получим

 I = pэνэcosφ

(1. 49)

Это выражение напоминает известное в теории переменных токов соотношение для активной электрической мощности

Pак = UIcosφ

где U и I – эффективные значения напряжения и тока, φ - угол сдвига по фазе между напряжением и током.

Согласно рис. 1.9 произведение νзcosφ представляет собой активную составляющую колебательной скорости, которую в соответствии с рис. 1.8 можно выразить как

Часть 1.

Подставив это в (1.49), получим выражение, связывающее интенсивность со звуковым давлением

Часть 1

(1.50)

Это выражение справедливо при любом характере фронта волны. Оно является основным соотношением, применяемым на практике для вычисления интенсивности звука, так как используемые для измерений приемники звука реагируют обычно на звуковое давление.

Таким образом, интенсивность звука представляет активную составляющую удельной мощности звуковых колебаний. Реактивная составляющая мощности колебаний непрерывно колеблется в звуковом поле то в сторону распространения волны, то в обратную. Эта часть мощности колебаний представляет собой запас энергии в звуковом поле аналогично запасу энергии в электрическом и магнитном полях.

1.6. ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ НЕСКОЛЬКИХ ИСТОЧНИКОВ

Для расчета звукового поля, создаваемого двумя или большим числом источников, будем пользоваться известным из теории электрических цепей методом наложения. Применительно к акустической задаче сущность метода заключается в том, что мгновенное значение переменной величины, характеризующей результирующее звуковое поле (например, звукового давления), определяется как сумма мгновенных значений величин, характеризующих в тех же точках поле отдельных источников. Рассмотрим в качестве примера звуковое поле, создаваемое двумя излучателями (рис. 1.12). Пусть в произвольно выбранной точке первый источник создает давление р1, второй – р2. Поскольку звуковое давление – величина скалярная, то можем найти мгновенное значение результирующего давления р как алгебраическую сумму р1 и р2, т. е.

Часть 1

(1. 51)

Часть 1

Рис. 1.12

и результирующую интенсивность звука в этой же точке как

Часть 1

(1. 52)

где 2Т – некоторое, достаточно длительное время, в течение которого производится усреднение.

Подставив сюда значение р из (1.51), имеем

Часть 1

(1. 53)

Первый и второй члены конечного результата есть интенсивности I1 и I2 от первого и второго источника. В третьем члене величина

Часть 1

(1.54)

представляющая собой среднее за промежуток времени 2Т значение произведения р1р2 называется функцией взаимной корреляции переменных р1 и р2 и является определенной мерой сходства или взаимосвязи колебаний р1 и р2. Однако наличие у этой функции размерности (обусловленной размерностью составляющих ее величин р1 и р2), а также зависимость от абсолютного значения величин р1 и р2 создают известные неудобства в ее использовании. Более удобной мерой взаимосвязи колебаний, лишенной отмеченных недостатков, является нормированная функция взаимной корреляции, определяемая как отношение среднего от произведения к произведению среднеквадратичных значений исходных величин, т. е.

Часть 1

(1.55)

так как по определению эффективных величин

Часть 1Часть 1Часть 1

Подставив в (1.53) значение

Часть 1

получим

Часть 1

или

Часть 1.

(1. 56)

Это соотношение позволяет провести расчет интенсивности суммарного звукового поля, если известна функция корреляции R.

В зависимости от степени взаимосвязи колебаний коэффициент R может принимать положительные и отрицательные значения в пределах от нуля до единицы.

В дальнейшем, на примере некоторых частных видов колебаний, будет показано, что в случае, когда p1 и р2 являются совершенно разнородными, не связанными друг с другом колебаниями, функция взаимной корреляции обращается в нуль (R = 0). Интенсивность суммарного звукового поля таких некоррелированных колебаний, согласно (1.51), равна сумме интенсивностей исходных полей, т. е.

I = I1 + I2

(1.57)

Таким образом, закон суммирования энергии (т. е. определение энергии результирующего звукового поля как суммы энергий полей отдельных источников) применим лишь при отсутствии корреляции между звуковыми полями отдельных источников.

Рассмотрим, на основе изложенной теории, некоторые частные виды звуковых полей, создаваемых двумя источниками.

Звуковое ноле когерентных волн. Интерференция. Если источники 1 и 2, изображенные на рис. 1.12, излучают синусоидальные звуковые волны одной и той же частоты, или когерентные волны, то звуковые давления р1 и р2 в каждой точке среды будут отличаться лишь по амплитуде и фазе, причем как амплитуды рm1 и рm2, так и угол φ сдвига фазы двух колебаний будут функциями координат рассматриваемых точек звукового поля. Представим эти давления в виде косинусоидальных функций

p1 = pm1cos ωt;         p2 = pm2cos (ωt – φ)

и вычислим функцию взаимной корреляции, приняв время усреднения Т равным периоду колебания:

Часть 1Часть 1

Тогда

Часть 1

(1.58)

т. е. функция взаимной корреляции является в этом случае косинусоидальной функцией угла сдвига фазы между звуковыми давлениями р1 и р2. Подставив это значение в формулу (1.56), имеем

Часть 1

(1. 59)

Полученное выражение позволяет выявить особенности результирующего поля когерентных волн. Предположим для простоты, что источники 1 и 2 излучают синфазно, а амплитуды давлений рm1 и рm2 от расстояния не зависят. В тех точках поля, где разность путей Δr = r2 – r1 равна нулю или целому числу длин волн λ, колебания будут синфазы, φ=2πn (n = 0,1, 2, 3,...), так что R = 1 и

Часть 1Часть 1

т. е. результирующая интенсивность будет больше суммы интенсивностей исходных полей. В частности, когда I2=I1 суммарная интенсивность I=4I1.

В точках, где разность хода Δr равна одной полуволне или нечетному числу полуволн, колебания будут противофазны,

Часть 1φ = (2n + 1)π (n=0,1,2,3,…), так что R=-1 и Часть 1

т. е. интенсивность суммарного поля будет меньше суммы интенсивностей складываемых полей. В частности, когда I2=I1, суммарная интенсивность I=0, что является результатом взаимной компенсации деформаций противоположного знака, создаваемых двумя источниками.

Наконец, в точках, где разность хода Δr составляет нечетное число четвертей волны λ/4, колебания будут сдвинуты на угол φ = (2n + 1)π/2 (n = 0,1,2,3…), так что R=0 и I=I1 + I2, т.е. интенсивность суммарного поля будет равна сумме интенсивностей исходных полей.

Описанное явление, выражающееся в пространственном перераспределении колебательной энергии в поле когерентных волн, называется интерференцией. Интерференцию можно рассматривать как пространственную модуляцию звукового поля.

Звуковое поле некогерентных синусоидальных волн. Пусть рассмотренные ранее источники излучают синусоидальные звуки, частоты которых отличаются в целое число раз, так что в любой точке поля

Часть 1

где φ – фазовый угол, обусловленный координатами рассматриваемой точки; n = 2,3,4...

Тогда

Часть 1

Следовательно, в этом случае R = 0, так что

I = I1 + I2

(1.60)

Таким образом, синусоидальные волны, отличающиеся по частоте в целое число раз, представляют собой типичный случай полностью некогерентных волн, когда энергия суммарного звукового поля равна сумме энергий складываемых полей.

Звуковое поле синусоидальных волн, мало отличающихся по частоте. Биения. Как и в предыдущем случае, но здесь, вместо (1.59), имеем условие

Часть 1 

(1.61)

Часть 1

(1.62)

Результирующее колебание

Часть 1

(1.63)

рассмотрим с помощью векторных диаграмм, изображенных на рис. 1.9. Поскольку частота ω2 выше частоты ω1, то для наблюдателя, вращающегося со скоростью ω1 совместно с вектором pm1, вектор рm2 будет представляться вращающимся с относительной скоростью ω2 – ω1, делая полный оборот за время

Часть 1

(1.64)

Амплитуда результирующего колебания рm определяемая на векторной диаграмме как геометрическая сумма векторов pm1 и рm2, в разные моменты времени будет иметь разную величину, изменяясь за время Т от значения (pm1m2) (в моменты времени t1 и t5=t1+T на рис. 1.9) до (pm1m2) (в момент времени t3 = t+ T/2). Одновременно происходит изменение значений фазы результирующего колебания от значения +φmx до –φmx, определяемых, согласно рис. 1.14, как

Часть 1

Итак, результирующее звуковое давление р в каждой точке суммарного поля будет промодулированным во времени по амплитуде и фазе, причем частота изменения амплитуды и фазы суммарного колебания равна разности частот налагаемых колебаний, т. е.

W = w2 – w1

Часть 1

Рис. 1.13

Часть 1

Рис. 1.14

Это явление получило название биений, а частота Ω – частоты биений.

Таким образом, при сложении двух мало отличающихся по частоте звуковых давлений результирующее колебание в каждой точке звукового поля оказывается промодулированным во времени по амплитуде и фазе. Модуляция является в данном случае естественным следствием непрерывного изменения относительного сдвига фаз складываемых колебаний, возникающего из-за несовпадения периодов их колебаний Т1 и Т2.

При анализе биений мы не пользовались корреляционным методом, так как применяемое в этом методе усреднение за длительный промежуток времени привело бы к потере информации об основной особенности явления – переменном характере процесса во времени. Это же самое можно выразить иными словами: при образовании корреляционной функции теряется информация о фазовых соотношениях в исходных временных функциях.

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика