andrey

Путь к Файлу: /Таганрогский радиотехнический университет / Семестр5 / ТЭС-3 / Лекции / Лекция 14.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   1
Пользователь:   andrey
Добавлен:   24.01.2015
Размер:   213.0 КБ
СКАЧАТЬ

Лекция №14 (ТЭС ч.3)

14. Дискретное преобразование фурье (ДПФ)

14.1. Описание дискретных сигналов в частотной области

В частотной области дискретный сигнал Лекция 14 описывается своим Фурье-изображением Лекция 14, которое определяется с помощью преобразования Фурье:

Лекция 14,                                         (14.1)

где Лекция 14 – круговая частота;

Лекция 14 – период дискретизации;

Лекция 14 – номер отсчёта.

Фурье-изображение Лекция 14 дискретного сигнала называют его комплексным спектром (спектром).

Комплексную функцию Лекция 14 можно выразить через ее модуль и аргумент:

Лекция 14,

где Лекция 14 – амплитудный спектр дискретного сигнала;

Лекция 14 – фазовый спектр дискретного сигнала;

Лекция 14 и Лекция 14 – реальная и мнимая части Лекция 14.

Напомним, что по своей сути преобразование Фурье – это представление некоторого сигнала (функции) в виде набора гармонических составляющих (синусоид). Соответственно амплитудный спектр сигнала – это набор значений амплитуд синусоид, а фазовый спектр сигнала – это набор значений фаз синусоид. По оси абсцисс в обоих случаях указывается значение частоты соответствующих синусоид.    

 

14.2. Свойства спектров дискретных сигналов

Перечислим основные свойства спектров дискретных сигналов:

1. Непрерывность.

Спектр Лекция 14, а также его модуль и аргумент – непрерывные (кусочно-непрерывные) функции частоты.

2. Периодичность.

Спектр Лекция 14, а также его модуль и аргумент – периодические функции частоты с периодом, равным частоте дискретизации Лекция 14. Часть спектра, расположенная в основной полосе частот, называется основным спектром.

3. Спектр вещественного сигнала.

Если Лекция 14 – вещественный сигнал, то модуль его спектра – четная функция частоты, а аргумент – нечетная:

Лекция 14,

Лекция 14.

4. Линейность.

Если дискретный сигнал Лекция 14 равен линейной комбинации сигналов

Лекция 14,

то его спектр Лекция 14 на основании (14.1) равен линейной комбинации спектров данных сигналов

Лекция 14.

5. Сдвиг (перенос, смещение) спектра.

Умножение дискретного сигнала Лекция 14 на комплексную экспоненту Лекция 14 приводит к сдвигу его спектра по оси частот Лекция 14 вправо на величину Лекция 14, что символически можно записать следующим образом:

Лекция 14;

Лекция 14.

6. Сдвиг сигнала Лекция 14 на Лекция 14отсчётов вправо (задержка сигнала).

Задержка сигнала Лекция 14 на Лекция 14 отсчётов приводит к умножению его спектра Лекция 14 на комплексную экспоненту Лекция 14, что символически можно записать следующим образом:

Лекция 14;

Лекция 14.

7. Равенство (теорема) Парсеваля.

Равенство Парсеваля устанавливает связь между энергией дискретного сигнала, вычисленной во временной и частотной областях:

Лекция 14,

где:

Лекция 14 – энергия сигнала, вычисленная во временной области;

Лекция 14 – энергия сигнала, вычисленная в частотной области.

Если обработка сигнала производится в частотной области, равенство Парсеваля позволяет вычислять энергию сигнала непосредственно по его амплитудному спектру, не прибегая к обратному преобразованию Фурье.

 

 

14.3. Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности

При расчете спектра (14.1) средствами цифровой вычислительной техники он, как и любая другая непрерывная функция, может быть определен только в дискретных точках. Алгоритм вычисления непрерывного спектра Лекция 14 конечной последовательности Лекция 14 на периоде Лекция 14 в дискретных точках называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

При вычислении конечного значения точек непрерывного спектра Лекция 14 возникает вопрос о количестве данных точек, ибо их недостаточное число может привести к пропуску важной информации, а избыточное – к неоправданному возрастанию объема вычислений.

Ответ на вопрос о минимально достаточном количестве дискретных точек непрерывного спектра на периоде дает теорема Котельникова в частотной области, симметричная теореме во временной области. Ее суть заключается в следующем: непрерывный спектр Лекция 14 конечного сигнала полностью определяется последовательностью своих отсчетов в частотной области, взятых с интервалом Лекция 14, где Лекция 14.

Следовательно, на периоде Лекция 14 непрерывный спектр Лекция 14 конечной последовательности длины Лекция 14 полностью определяется последовательностью своих Лекция 14 равноотстоящих отсчетов Лекция 14, Лекция 14. По этим отсчетам гарантируется возможность точного восстановления непрерывного спектра.

Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется пара взаимно однозначных преобразований:

· прямое преобразование

Лекция 14;                         (14.2)

· обратное преобразование (ОДПФ)

Лекция 14,                   (14.3)

где:

Лекция 14 – последовательность (сигнал) во временной области (вещественная или комплексная);

Лекция 14 – дискретные коэффициенты Фурье (вещественные или комплексные) – один период последовательности в частотной области;

Лекция 14 – номер отсчёта последовательности Лекция 14, соответствующий частоте Лекция 14;

Лекция 14 – поворачивающий множитель, получивший свое название потому, что аргумент Лекция 14 отображает угол поворота на единичной окружности комплексной z-плоскости.

Последовательности Лекция 14 и Лекция 14 в (14.2) и (14.3) называют N-точечными. Отсчёты последовательности Лекция 14 называют отсчётами ДПФ.

ДПФ (14.2) описывает алгоритм вычисления N-точечной последовательности Лекция 14 в частотной области, а ОДПФ (14.3) – алгоритм вычисления N-точечной последовательности Лекция 14 во временной области.

ДПФ может использоваться как для периодических последовательностей с периодом Лекция 14, так и для последовательностей конечной длины Лекция 14

 

 

14.4. Свойства дискретного преобразования Фурье

К основным свойствам ДПФ относятся: периодичность; линейность; сдвиг (смещение) N-точечного ДПФ; сдвиг (задержка) N-точечной последовательности; равенство (теорема) Парсеваля. Данные свойства аналогичны свойствам спектров дискретных сигналов, которые рассмотрены выше. Отличие заключается только в том, что Лекция 14 заменяется на Лекция 14Лекция 14 заменяется на Лекция 14,  Лекция 14 заменяется на Лекция 14.

Рассмотрим свойства, которые присущи только ДПФ.

1. Круговая (периодическая, циклическая) свертка: вычисление с помощью ДПФ.

Понятие круговой свёртки используется только для периодических последовательностей. Круговой свёрткой двух периодических N-точечных последовательностей Лекция 14Лекция 14 называется периодическая N-точечная последовательность

Лекция 14.             (14.4)

Алгоритм вычисления круговой свёртки имеет следующий вид:

1) определяются N-точечные ДПФ Лекция 14, Лекция 14 и их произведение

Лекция 14,

где Лекция 14;

2) с помощью ОДПФ определяется N-точечная выходная последовательность Лекция 14.

Напомним, что свёртка во временной области соответствует умножению в частотной области и наоборот. Свёртка, в свою очередь, является основной операцией КИХ-фильтров и т.д.

ДПФ и ОДПФ рассчитываются с помощью быстрых алгоритмов, что существенно сокращает объем вычислений по сравнению с непосредственным определением свертки Лекция 14 по формуле (14.4).   

2. ДПФ произведения периодических последовательностей (теорема свёртки в частотной области).

ДПФ произведения периодических N-точечных последовательностей

Лекция 14

равно круговой свертке N-точечных ДПФ данных последовательностей

Лекция 14.

3. Линейная (апериодическая) свертка: вычисление с помощью ДПФ.

Линейной сверткой конечных последовательностей Лекция 14 и Лекция 14 с длинами Лекция 14 и Лекция 14 соответственно называется  L-точечная последовательность

Лекция 14.             (14.5)

где Лекция 14, причем последовательности Лекция 14, Лекция 14 и Лекция 14 равны нулю вне этого интервала.

Алгоритм расчета реакции по формуле свёртки с помощью ДПФ заключается в следующем:

1) последовательности Лекция 14 и Лекция 14 дополняются нулями до длины Лекция 14, в результате переходят к L-точечным последовательностям Лекция 14 и Лекция 14;

2) определяют L-точечные ДПФ Лекция 14, Лекция 14 и их произведение

Лекция 14,

где Лекция 14;

3) с помощью ОДПФ определяется L -точечная выходная последовательность Лекция 14.

 

Литература:

1. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –768 с.

2. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. –992 с.

 

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика