andrey

Путь к Файлу: /Таганрогский радиотехнический университет / Семестр5 / ТЭС-3 / Лекции / Лекция 9.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   2
Пользователь:   andrey
Добавлен:   24.01.2015
Размер:   1.1 МБ
СКАЧАТЬ

Лекция №9 (ТЭС ч.3)

9.2. Синтез оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров

Метод вычисления оптимальных (по Чебышеву) коэффициентов КИХ-фильтра является чрезвычайно мощным, и благодаря наличию специальных программ его весьма просто применять. По этим причинам и ещё потому, что данный метод даёт великолепные фильтры, он широко используется во многих сферах, где требуются КИХ-фильтры.

9.2.1 Основные концепции

  При вычислении коэффициентов фильтра по методу вырезания возникает проблема выбора удачной аппроксимации желаемой или идеальной частотной характеристики. Максимальные колебания характеристики фильтров, разработанных с помощью метода взвешивания, возникают возле краёв полос пропускания и уменьшаются при удалении от них (рис. 9.1, а). Оказывается, что если колебания распределены более равномерно по полосе пропускания и полосе подавления (как, например, рис. 9.1, б) можно получить лучшую аппроксимацию желаемой частотной характеристики.

Лекция 9

Рис. 9.1. Сравнение частотных характеристик: а) фильтра, полученного при помощи метода окон (N=27); б) оптимального фильтра (N=21).

Оптимизационные методы основаны на понятии полос равных колебаний. Рассмотрим частотную характеристику фильтра нижних частот, изображённую на рис. 9.2. В полосе пропускания реальная характеристика осциллирует между значениями Лекция 9 и Лекция 9. В полосе подавления характеристика фильтра находится между 0 и Лекция 9. Отличие характеристик идеального и реального фильтров можно рассматривать как функцию ошибок

Лекция 9

где Лекция 9 – идеальная или желаемая характеристика, Лекция 9  – весовая функция, которая позволяет определить относительную ошибку аппроксимации между различными полосами. Цель оптимального метода – определить коэффициенты фильтра Лекция 9, при которых значение максимальной взвешенной ошибки Лекция 9 минимизируется в полосе пропускания и полосе подавления. Математически это можно записать следующим образом:

Лекция 9

по полосам пропускания и полосам подавления.

Лекция 9

Рис. 9.2. Частотная характеристика оптимального фильтра (а) и характеристика ошибки между идеальной и практической АЧХ (б).

 

Таким образом, стоит задача аппроксимации в частотной области, результатом решения которой является некоторый тригонометрический полином порядка Лекция 9

Лекция 9,

где Лекция 9.

В конечном счёте, задача сводится к поиску коэффициентов полинома Лекция 9 , связывающих амплитудную и передаточную функции соотношением Лекция 9.

Стоящая под знаком суммы функция Лекция 9 также является полиномом k-го порядка, получившим название полинома Чебышева. Рекуррентная формула для конструирования полиномов Чебышева имеет вид

Лекция 9.

На основании равенств Лекция 9 и Лекция 9 нетрудно получить следующий ряд полиномов:

Лекция 9

Для примера на рис. 9.3 приведен график полинома Лекция 9.

Лекция 9

Рис. 9.3. График полинома Лекция 9

Было установлено, что при минимизации Лекция 9 характеристика фильтра будет иметь равные колебания в пределах полос пропускания и подавления, причём модуль максимального отклонения будет постоянным, и характеристика будет проходить между двумя уровнями амплитуды с чередованием знака отклонения (рис. 9.1, б). Например, у фильтров нижних частот с линейной фазовой характеристикой имеется Лекция 9 или Лекция 9 экстремумов, где Лекция 9 (для фильтров с положительно-симметричными коэффициентами и нечётной длиной) или Лекция 9 (для фильтров с положительно-симметричными коэффициентами и чётной длиной). На рис. 9.1, б частоты экстремумов изображены маленькими кружочками.

При данном наборе спецификаций фильтра расположение экстремальных частот, кроме тех, что размещены на границе полос (т.е. на частотах Лекция 9 и  Лекция 9), не известно априори. Значит, основная задача оптимального метода – это найти положения экстремальных частот. Для решения этой задачи был разработан мощный метод, в котором реализован алгоритм замены Ремеза (Remez exchange algorithm). Данный алгоритм является наиболее эффективным методом поиска чебышевского приближения (аппроксимации). Зная положения экстремумов, получить действительную частотную характеристику (а значит, импульсную характеристику) – дело техники.

Для данного набора спецификаций (т.е. граничных частот полосы пропускания N отношения амплитуд колебаний характеристики в полосе пропускания и полосе подавления) оптимальный метод включает следующие ключевые этапы:

· использовать алгоритм замены Ремеза, чтобы найти оптимальный набор экстремальных частот;

· определить частотную характеристику, использовав положения экстремумов;

· получить коэффициенты импульсной характеристики.

Сердцем оптимального метода является первый этап, где для определения экстремальных частот фильтра, амплитудно-частотная характеристика которого удовлетворяет условию оптимальности, используется итеративная процедура. Данный этап зависит от теоремы об альтернансе (alternation theorem), определяющей число экстремальных частот, которые могут существовать при данном значении N.

 

9.3. Синтез КИХ-фильтров методом частотной выборки

Метод частотной выборки позволяет разрабатывать нерекурсивные КИХ-фильтры, в число которых входят как обычные частотно–избирательные фильтры (фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые), так и фильтры с произвольной частотной характеристикой. Уникальное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он допускает рекурсивные реализации КИХ-фильтров, что позволяет получать вычислительно эффективные фильтры. При некоторых условиях можно даже разработать рекурсивные КИХ-фильтры, коэффициенты которых – целые числа, что удобно, если допустимы только примитивные арифметические операции (это справедливо, например, для систем, реализованных на стандартных микропроцессорах).

Предположим, что требуется получить коэффициенты КИХ-фильтра, частотная характеристика которого изображена на рис. 9.4. Для начала можно взять N выборок частотной характеристики в точках Лекция 9, Лекция 9. Коэффициенты фильтра Лекция 9 можно получить, применив обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) к частотным выборкам:

Лекция 9,

где Лекция 9  – выборки идеальной или целевой частотной характеристики.

Лекция 9

Рис. 9.4. Понятие частотной выборки: а) АЧХ идеального фильтра нижних частот; б) выборки идеального фильтра нижних частот; в) АЧХ фильтра нижних частот, полученная при помощи частотных выборок.

Можно показать, что для фильтров с линейной фазовой характеристикой и чётно-симметричной импульсной характеристикой можно записать (если N – чётное)

Лекция 9,

где Лекция 9. Если N – нечётное, верхним пределом суммы является Лекция 9. Получающийся фильтр будет иметь частотную характеристику, которая в точности совпадает с исходной характеристикой в моменты выборки. В то же время, для других точек характеристики могут сильно отличаться (рис. 9.4). Для получения хорошей аппроксимации частотной характеристики нужно взять достаточное число частотных выборок.

Оптимизация амплитудной характеристики. Для улучшения АЧХ фильтров, полученных по принципу частотной выборки, можно отказаться от более узкой полосы перехода и ввести в полосу перехода дополнительные частотные выборки. На рис. 9.5 приведена типичная спецификация фильтра нижних частот с тремя частотными выборками в полосе перехода. Для фильтра нижних частот затухание в полосе подавления увеличивается приблизительно на 20 дБ для каждой частотной выборки в полосе перехода, при этом происходит соответствующее увеличение ширины перехода:

· приблизительное затухание в полосе подавления Лекция 9;

· приблизительная ширина перехода Лекция 9,

где M – число выборок в полосе перехода, N – длина фильтра.

Лекция 9

Рис. 9.5. Частотные выборки фильтра нижних частот, включая три выборки в полосе перехода.

9.4. Сравнение метода взвешивания, оптимального метода и метода частотной выборки

Оптимизационные методы – это простой и эффективный путь вычисления коэффициентов КИХ-фильтра. Хотя метод позволяет полностью контролировать спецификацию фильтра, необходимым требованием является наличие программной поддержки разработки фильтра. Для большинства приложений оптимальный метод даёт фильтры с хорошими амплитудными характеристиками при разумных значениях N. Метод особенно хорош при разработке преобразователей Гильберта и дифференциаторов. При использовании для разработки названных устройств других методов будут получены большие ошибки аппроксимации.

Если программная поддержка оптимального метода отсутствует или амплитуды колебаний характеристики в полосе пропускания и полосе подавления равны, можно воспользоваться методом вырезания (окон). Этот метод весьма прост в применении и интуитивно понятен. В то же время, оптимальный метод часто предполагает более экономное решение с точки зрения числа коэффициентов фильтра. Кроме того, метод вырезания не позволяет разработчику строго управлять частотами среза или неравномерностью в полосе пропускания или подавления.

Только метод частотной выборки допускает и рекурсивную, и нерекурсивную реализацию КИХ-фильтра, что позволяет осуществлять вычислительно экономную реализацию фильтра. Метод частотной выборки позволяет легко разрабатывать фильтры с произвольными амплитудно-частотными характеристиками. В то же время этот метод не позволяет строго контролировать положение граничных частот или неравномерность в полосе пропускания.

 

Литература:

1. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –768 с.

2. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. –992 с.

 

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика