andrey

Путь к Файлу: /Таганрогский радиотехнический университет / Семестр5 / ТЭС-3 / Лекции / Лекция 11.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   2
Пользователь:   andrey
Добавлен:   24.01.2015
Размер:   465.0 КБ
СКАЧАТЬ

Лекция №11 (ТЭС ч.3)

(продолжение лекции №10)

11.1. Расчёт коэффициентов БИХ-фильтра методом инвариантного преобразования импульсной характеристики (продолжение)

 

Решение:

Пусть задана передаточная функция устойчивого аналогового фильтра-прототипа Лекция 11, имеющая M полюсов Лекция 11, Лекция 11. Напомним, что Лекция 11 – оператор Лапласа.

Чтобы применить метод инвариантного преобразования импульсной характеристики к БИХ-фильтрам высоких порядков, имеющих простые полюсы, передаточную функцию Лекция 11 необходимо разложить на простые дроби (простая дробь в этом случае описывает фильтр первого порядка):

Лекция 11,                   (11.1)

где Лекция 11 –  k-ый полюс функции, Лекция 11 – коэффициент разложения при k-ом полюсе. Коэффициент разложения может быть как вещественным, так и комплексным (зависит от того, является ли k-ый полюс вещественным или мнимым). Коэффициенты разложения могут быть найдены по формуле

Лекция 11.

Импульсная характеристика k-ого аналогового фильтра первого порядка находится через обратное преобразование Лапласа:

Лекция 11,

где Лекция 11 – обозначает обратное преобразование Лапласа. Дискретизируя Лекция 11 с периодом T (это и есть непосредственная дискретизация аналогового фильтра), получаем импульсную характеристику БИХ-фильтра первого порядка

Лекция 11.

Передаточная функция Лекция 11 фильтра первого порядка находится как результат действия z-преобразования на импульсную характеристику Лекция 11:

Лекция 11.

Следовательно, при дискретизации k-ого аналогового фильтра первого порядка происходит преобразование передаточной функции следующего вида:

Лекция 11.                                                 (11.2)

Используя выражения (11.1) и (11.2) запишем передаточную функцию искомого цифрового БИХ-фильтра:

Лекция 11.

Данное выражение в общем случае содержит комплексные коэффициенты. Для перехода к передаточной функции с вещественными коэффициентами необходимо попарно сложить дроби, имеющие комплексно-сопряженные полюсы, в результате чего получим Лекция 11 звеньев второго порядка с вещественными коэффициентами:

Лекция 11,

где Лекция 11;

Лекция 11;

Лекция 11;

Лекция 11;

Лекция 11  и Лекция 11– действительная и мнимая части Лекция 11 ;

Лекция 11  и Лекция 11– действительная и мнимая части Лекция 11 ;

знак «*» означает комплексно-сопряженные.

На рис. 11.1 приведены структурная схема фильтра второго порядка и структурная схема искомого цифрового БИХ-фильтра.

Пример 11.1:

Лекция 11

Рис. 11.1. Структурная схема фильтра второго порядка (а) и структурная схема искомого цифрового БИХ-фильтра (б)

 

11.2. Свойства БИХ-фильтров, синтезируемых методом инвариантного преобразования импульсной характеристики

1. Импульсная характеристика цифрового фильтра Лекция 11 идентична характеристике аналогового фильтра Лекция 11 в дискретные моменты времени Лекция 11, где Лекция 11 – номер отсчёта, Лекция 11 – период дискретизации. Именно по этой причине метод называется инвариантным преобразованием импульсной характеристики.

2. Соотношение между z- и p-плоскостями носит периодический характер и, соответственно, метод инвариантности импульсной характеристики не обеспечивает однозначное отображение p-плоскости в z-плоскость.

3. Из предыдущего пункта следует, что комплексная частотная характеристика цифрового фильтра периодична с периодом, равным частоте дискретизации Лекция 11, и связана с частотной характеристикой аналогового фильтра-прототипа соотношением, подобным соотношению между спектрами аналоговых и дискретных сигналов (рис. 11.2).

Следовательно, при дискретизации аналогового фильтра-прототипа неизбежно возникает наложение частотных характеристик цифрового фильтра вследствие неограниченности частотной характеристики прототипа по полосе частот; причем наложение в принципе неустранимо при любом T.

4. Свойство оптимальности прототипа не сохраняется, поскольку форма его АЧХ заметно искажается на участках наложения, имеющих место в области верхних частот (т.е. близких к Лекция 11).

5. В большинстве случаев нецелесообразно синтезировать фильтры верхних частот и режекторные вследствие эффекта наложения.

6. Если устойчив аналоговый фильтр-прототип, то устойчив и соответствующий ему цифровой фильтр.

Лекция 11

Рис. 11.2. АЧХ аналогового фильтра-прототипа (а) и АЧХ эквивалентного цифрового фильтра, полученного методом инвариантного преобразования импульсной характеристики

 

 

11.3. Расчёт коэффициентов цифрового БИХ-фильтра с помощью билинейного z-преобразования

 

Данный метод является наиболее важным методом получения коэффициентов БИХ-фильтра. В нем для преобразования передаточной характеристики аналогового фильтра-прототипа Лекция 11 в передаточную характеристику эквивалентного цифрового фильтра Лекция 11 применяется следующая замена:

Лекция 11,

Лекция 11 ,                                         (11.3)

где Лекция 11. Преобразование (11.3) называется билинейным z-преобразованием. На рис. 11.3 приведено соответствие p- и z- плоскостей при билинейном z-преобразовании. Необходимо отметить, что вся ось Лекция 11 p-плоскости отображается в единичную окружность, левая половина p-плоскости отображается внутрь единичной окружности, а правая – в область снаружи единичной окружности. Таким образом, устойчивый аналоговый фильтр-прототип с полюсами в левой половине p-плоскости перейдёт в цифровой фильтр с полюсами внутри единичной окружности.

Лекция 11

Рис. 11.3. Иллюстрация отображения p-плоскости на комплексную z-плоскость при использовании билинейного z-преобразования

 

Однако, прямая замена p в Лекция 11, как она показана в (11.3) может привести к получению цифрового фильтра с искаженной частотной характеристикой. Это можно показать, сделав в уравнении (11.3) замену Лекция 11 и Лекция 11. Упрощая, находим, что частота аналогового фильтра Лекция 11 и частота цифрового фильтра Лекция 11  связаны соотношением

Лекция 11,                                                   (11.4)

где Лекция 11. Данная зависимость схематически изображена на рис. 11.4. Видно, что связь частоты аналогового фильтра  Лекция 11 и частоты цифрового фильтра Лекция 11 почти линейна при малых значениях Лекция 11, но становится нелинейной при больших значениях Лекция 11, что приводит к искажению (деформации) частотной характеристики цифрового фильтра. Также следует отметить, что полосы пропускания аналогового фильтра слева имеют постоянную ширину и их центры располагаются через равные промежутки, тогда как полосы пропускания эквивалентного цифрового фильтра несколько сгущены. Для компенсации этого эффекта частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа (одна или несколько критичных частот) обычно предварительно деформируется перед применением билинейного z-преобразования.

Лекция 11

Рис. 11.4. Иллюстрация связи между частотными характеристиками аналогового фильтра-прототипа и эквивалентного цифрового фильтра, демонстрирующая эффект деформации.

 

11.4. Этапы расчёта коэффициентов БИХ-фильтра при помощи билинейного z-преобразования

 

1. На основе требований, предъявленных к цифровому фильтру, определяется подходящий нормированный аналоговый фильтр-прототип с передаточной функцией Лекция 11.

2. Определяются и деформируются граничные или критичные частоты выбранного фильтра-прототипа. Для фильтров нижних и верхних частот существует единственная граничная частота (частота среза, Лекция 11). Для полосовых и режекторных фильтров задаются верхние и нижние частоты полосы пропускания Лекция 11 и Лекция 11, каждую из которых необходимо деформировать:

Лекция 11;

Лекция 11;

Лекция 11.

 

3. Денормировать аналоговый фильтр-прототип, заменив Лекция 11 в передаточной функции с помощью одного из следующих преобразований (в зависимости от требуемого фильтра):

Лекция 11, нижних частот в нижних частот;

Лекция 11, нижних частот в верхних частот;

Лекция 11, нижних частот в полосовой;

Лекция 11, нижних частот в режекторный;

где Лекция 11, Лекция 11.

4. Применить билинейное z-преобразование и получить передаточную функцию искомого цифрового фильтра Лекция 11, следующим образом заменив Лекция 11 в масштабированной (т.е. денормированной) передаточной функции Лекция 11:

Лекция 11.

 

 

Литература:

1. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –768 с.

2. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. –992 с.

 

 

 

 

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика