andrey

Путь к Файлу: /Таганрогский радиотехнический университет / Семестр5 / ТЭС-3 / Лекции / Лекция 4.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   1
Пользователь:   andrey
Добавлен:   24.01.2015
Размер:   142.5 КБ
СКАЧАТЬ

Лекция №4 (ТЭС ч.3)

Обратное Z-преобразование

 

Последовательность x(n) по известному z-изображению X(z) находится при помощи обратного z-преобразования

Лекция 4,                                (4.1)

где:

Лекция 4 – символическое обозначение обратного z-преобразования;

С – любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все её особые точки (полюсы) и начало координат  комплексной z-плоскости. Вычислить оригинал непосредственно по формуле (4.1) достаточно сложно.

Предположив, что последовательность x(n) причинна, z-образ X(z) можно разложить в степенной ряд

 Лекция 4 .   (4.2)

В данном случае видно, что значения последовательности x(n) являются коэффициентами при Лекция 4. Поэтому, если z-образ задан в виде (4.2), то значения последовательности x(n) можно найти непосредственно.

Например, дан следующий z-образ причинной ЛИВ-системы (линейной инвариантной относительно времени системы)

Лекция 4.

В соответствии с (4.2) значения последовательности x(n) имеют следующие значения

Лекция 4.

На практике z-образ X(z) часто выражается через отношение двух многочленов от Лекция 4:

Лекция 4,                             (4.3)

где Лекция 4 и Лекция 4 – коэффициенты;

N – порядок числителя;

M – порядок знаменателя.

Для этого случая обратное z-преобразование x(n) можно найти с помощью следующих методов:

а) метода разложения в степенной ряд;

б) метода вычетов (на основе теоремы Коши о вычетах);

в) метода разложения на простые дроби.

 

Метод разложения z-образа в степенной ряд

Если для причинной последовательности x(n) дан z-образ X(z) в виде (4.3), то его можно разложить в бесконечный ряд относительно Лекция 4:

Лекция 4.

Значения последовательности x(n) в этом случае можно получать при помощи следующей рекурсии:

Лекция 4              (4.4)

Пример 1. Необходимо рекурсивным способом найти первые четыре члена обратного z-преобразования x(n). Задан следующий z-образ X(z):

Лекция 4.

Решение. Сравнив коэффициенты в заданном z-образе X(z) с коэффициентами из (4.3), получим

Лекция 4.

В соответствии с (4.4) находим значения x(n):

Лекция 4

Следовательно, имеем первые четыре значения обратного z-преобразования:

Лекция 4.

 

Метод вычетов

В этом методе обратное z-преобразование находится путём вычисления контурного интеграла (4.1)

Лекция 4.

Для рациональных многочленов контурный интеграл из уравнения (4.1) находится с помощью фундаментального результата теории комплексных переменных, называемого теоремой Коши о вычетах (или, теоремой вычетов):

Лекция 4,                (4.5)

где Лекция 4 называется вычетом подынтегральной функции в особой точке – k-ом полюсе Лекция 4.

В данном методе вычеты функции Лекция 4 в полюсе Лекция 4 (но не вычеты функции Лекция 4) задаются как

Лекция 4,

где m – порядок полюса в точке Лекция 4. Для простого (отдельного) полюса данное уравнение сводится к

Лекция 4.                        (4.6)

Пример 2. Необходимо при помощи метода вычетов найти дискретный по времени сигнал x(n), соответствующий следующему z-образу:

Лекция 4.

Решение. Для простоты выразим z-преобразование через положительные показатели степени z, умножив числитель и знаменатель на Лекция 4 (наивысшую степень z):

Лекция 4.

Найдя корни для знаменателя (Лекция 4 и Лекция 4), преобразуем данное выражение в следующий вид:

Лекция 4

Функция Лекция 4 примет следующий вид:

Лекция 4.

Функция Лекция 4 имеет полюсы первого порядка в точках Лекция 4 и Лекция 4. Предположим, что C – окружность Лекция 4. Схема контура с обозначенными крестиками положениями полюсов дана на рис. 4.1. Оба полюса лежат внутри контура интегрирования (единичной окружности).

Лекция 4

Рис. 4.1. Схема контура интегрирования, демонстрирующая роль X(z).

 

В соответствии с уравнением (4.5) обратное z-преобразование задаётся как

Лекция 4.

Поскольку функция имеет полюсы первого порядка, воспользуемся уравнением (4.6). Таким образом,

Лекция 4Лекция 4,

Лекция 4

Лекция 4.

Обратное z-преобразование – это сумма вычетов в точках Лекция 4 и Лекция 4:

Лекция 4.

Подставляя в данное выражение значения номеров отсчётов n можно определить конкретные значения отсчётов x(n).

Достоинством данного метода является возможность получения выражения для обратного z-преобразования в аналитическом виде.

 

Литература:

1. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. –768 с.

2. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. –992 с.

 

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика