andrey

Путь к Файлу: /Санкт-Петербургский институт Машиностроения / Непрерывные процессы.doc

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   1
Пользователь:   andrey
Добавлен:   01.02.2015
Размер:   171.0 КБ
СКАЧАТЬ

Непрерывные процессы

 

Все рассмотренные ранее варианты единичных потоков и рент были основаны на дискретных процессах. Средства поступали в конкретные моменты времени (или в начальный, или в конечный, или в отдельные точки внутри рассматриваемого периода).  Проценты также начислялись с определенной периодичностью (раз в год, полугодие, квартал, месяц).

Особый класс составляют финансовые задачи, в которых эти процессы протекают непрерывно. Такая непрерывность может иметь место либо при поступлении средств, либо при начислении процентов, либо в этих двух процессах одновременно.

Рассмотрим вначале механизм непрерывного начисления сложных процентов. Предположим для простоты, что движение средств представляет собой единичный поток, в котором есть только одно поступление размером P в начале рассматриваемого интервала времени.

 

 

 

Непрерывные процессы
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Если проценты начисляются один раз в год, то первое начисление по номинальной годовой ставке Непрерывные процессы  произойдет в конце первого года, результате чего сумма на счете возрастет с P до Непрерывные процессы. Затем в течение второго года эта сумма будет оставаться неизменной, а в конце его снова возрастет до Непрерывные процессы. Этот процесс будет продолжаться с годовой периодичностью и завершится в последнем году Непрерывные процессы. Общая сумма, наращенная за время Непрерывные процессы, составит Непрерывные процессы, а сумма начисленных процентов – Непрерывные процессы.

Если периоды, за которые начисляются проценты, устанавливаются менее года, то процесс начисления интенсифицируется. Так, например, при полугодовом начислении процентов (Непрерывные процессы) первое начисление произойдет уже через пол года, в результате чего сумма на счете возрастет до Непрерывные процессы, где   Непрерывные процессы. В конце первого года будет второе начисление на сложившуюся к этому моменту сумму Непрерывные процессы по той же ставке Непрерывные процессы. Вклад возрастет до Непрерывные процессы. В целом за весь срок  Непрерывные процессы наращенная сумма составит Непрерывные процессы, а величина начисленных процентов – Непрерывные процессы.

Известно, что эти величины окажутся несколько выше аналогичных значений, полученных при годовом начислении процентов. Причем, чем чаще внутри года производится начисление, тем это повышение будет все более заметным.

Процесс дробления года с целью повышения периодичности начисления процентов можно продолжать до бесконечности и в пределе это приведет к непрерывному начислению. С математической точки зрения в этой ситуации при определении наращенной суммы придется использовать теорию пределов, а само выражение для расчета этой величины будет иметь вид:

 

Непрерывные процессы.

 

Основа входящего в это выражение предела представляет собой хорошо известную математическую константу, которую называют числом Эйлера, трансцендентным числом или основанием натурального логарифма:

Непрерывные процессы .

 

Используя эту величину, можно получить достаточно компактную формулу для расчета наращенной стоимости вклада, при условии, что начисление процентов по нему происходит непрерывно:

Непрерывные процессы ,

 

где  Непрерывные процессы ставка непрерывного начисления процентов. Обычно такую ставку называют силой роста и обозначают буквой Непрерывные процессы.

Таким образом, множитель Непрерывные процессы можно рассматривать как коэффициент наращения, показывающий при непрерывном начислении процентов во сколько раз наращенная сумма будет больше первоначального вклада.

Результаты расчетов по этому примеру показывают, что непрерывное начисление процентов с силой роста, равной годовой номинальной процентной ставке, приводят к заметному росту общей суммы процентов. Этот эффект “искусственного завышения” имеет ту же природу, что и при расчете периодической ставки путем деления номинальной годовой на число начислений в году  (Непрерывные процессы).  При этом эффективная годовая ставка оказывается выше годовой номинальной

Непрерывные процессы    

 

Для схемы непрерывного начисления процентов может быть обоснован расчет величины силы роста, эквивалентной однократному начислению процентов по годовой номинальной ставке:

Непрерывные процессы

 

По схеме непрерывного начисления сложных процентов наращенная за Непрерывные процессы лет стоимость единичного вложения Непрерывные процессы определяется равенством Непрерывные процессы, где Непрерывные процессы – равно принятой силе роста, характеризующей интенсивность начисления процентов.

 

Если при непрерывном начислении процентов возникает необходимость решения обратной задачи, в которой определяется текущая ценность будущего поступления, то можно воспользоваться следующей достаточно простой формулой:

 

Непрерывные процессы

 

Для схемы непрерывного начисления процентов возможно также решение дополнительных задач, связанных с определением требуемых сроков и требуемой силы роста.

В задачах по установлению сроков используется следующее выражение:

Непрерывные процессы

 

Несложно получить также выражение для определения величины силы роста:

 

Непрерывные процессы

 

При дискретном начислении процентов поток поступлений средств является аннуитетным, причем отдельные поступления происходят настолько часто, что временные интервалы между ними представляют собой бесконечно малые величины. В этой ситуации  поток поступлений приобретает непрерывный характер.

При обосновании формулы, позволяющей рассчитывать будущую стоимость непрерывного аннуитета, может быть использовано соответствующее выражение, полученное ранее для Непрерывные процессы-срочной ренты:

Непрерывные процессы  ,

 

где    Непрерывные процессы – число лет существования потока

Непрерывные процессы – суммарная величина платежей за год,

Непрерывные процессы – размер платежей за каждый период (день, месяц, квартал и т.д).

Непрерывные процессы – число платежей (взносов) в течение года,

 

Полагая, что при непрерывном потоке число платежей становится бесконечно большим, можно перейти к пределу этого выражения и после преобразований получить формулу расчета будущей стоимости:

Непрерывные процессы

Для установления взаимосвязи стоимости, наращенной по непрерывному аннуитету, и аналогичной характеристики по годовой (базовой) ренте постнумерандо, полученное выше выражение можно переписать в следующем виде:

 

Непрерывные процессы

 

Сомножитель Непрерывные процессы играет роль поправочного коэффициента при переходе от годовой ренты постнумерандо к ренте с непрерывным поступлением средств. Ранее такие поправочные коэффициенты были обоснованы для ренты пренумерандо Непрерывные процессы и ренты с поступлением средств в середине каждого периода Непрерывные процессы.

Обоснование расчета текущей стоимости непрерывного аннуитета можно сделать в виде предела соответствующего выражения для годовой ренты постнумерандо:

 

Непрерывные процессы

 

Несложно показать, что в этом случае для перехода от базовой ренты к непрерывной используется тот же самый коэффициент:

 

Непрерывные процессы

 

 

Теперь усложним ситуацию, считая, что на непрерывно поступающие денежные средства начисляются проценты Непрерывные процессы раз в год. В этом случае формула для расчета наращенной стоимости приобретает вид:

Непрерывные процессы

 

Естественно, что при более частом начислении процентов наращенная стоимость стала большей.

При определении текущей стоимости непрерывной ренты с начислением процентов Непрерывные процессы раз в год используется следующее выражение:

Непрерывные процессы

 

Полученный результат оказался меньше, чем при годовом начислении процентов. Следовательно, более частое начисление банком процентов интенсифицирует процедуру дисконтирования, за счет чего хранение денег на счете становится относительно более выгодным. Это приводит к снижению текущей ценности актива.

 

Увеличение до бесконечности частоты начисления процентов на непрерывно поступающие денежные средства приводит к ренте, в которой оба процесса становятся непрерывными. Наращенная стоимость такой ренты устанавливается с помощью следующего предела:

Непрерывные процессы ,

где  Непрерывные процессы– сила роста при непрерывном начислении процентов.

Эта величина оказалась несколько большей, чем при квартальном начислении процентов.

По аналогии через соответствующий предел можно получить формулу для расчета текущей стоимости ренты с непрерывным поступлением средств и непрерывным начислением процентов:

Непрерывные процессы

Полученные выражения позволяют решать прямую и обратную задачи для рент с непрерывными процессами. Для них возможны также ситуации, в которых требуется найти решение дополнительных задач, связанных с определением необходимой интенсивности поступления средств или требуемых сроков совершения финансовой операции или требуемой силы роста.

Установление интенсивности поступления денежных средств возможно по следующим формулам:

Непрерывные процессы     ;        Непрерывные процессы

Расчет сроков совершения финансовой операции можно выполнить с помощью одного из следующих выражений:

           Непрерывные процессы       ;       Непрерывные процессы          

 

Решение задач, связанных с определением требуемой силы роста, требует применения итеративных методов или использования процедуры подбора параметра в пакете Excel.

 

Иногда в финансовых задачах приходится “работать” с непрерывными рентами, имеющими особые условия. Примером здесь могут служить бессрочные непрерывные ренты и отсроченные непрерывные ренты.

Определение текущей стоимости бессрочной непрерывной ренты[1] может быть выполнено с помощью простого выражения:

Непрерывные процессы

 

Отсроченный  на  h периодов непрерывный аннуитет может быть разложен на две компоненты:

1 поток в течение всего срока ренты (t), текущая стоимость которого равна:

Непрерывные процессы

2 поток (несуществующий) в течение времени отсрочки (h) с текущей стоимостью:

 

Непрерывные процессы

 

Поскольку оба эти потока имеют начало, совпадающее с началом всей ренты, то полученные результаты корректировки не требую, а общая текущая стоимость отсроченной ренты определится как разность между этими величинами

 

Непрерывные процессы

 

Несложно обосновать также прямую формулу расчета текущей стоимости отсроченной непрерывной ренты:

Непрерывные процессы


[1] Расчет наращенной стоимости в этой ситуации смысла не имеет.

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика