ivanstudent

Путь к Файлу: /Введение в компьютерную графику / 15 / 65-66.DOC

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   0
Пользователь:   ivanstudent
Добавлен:   24.12.2014
Размер:   48.0 КБ
СКАЧАТЬ

3.6. Базовые сплайны

 

 

65-66Разобьем отрезок 0 £ t £  1 на участки      Ni,1

 

      0 = t0 <  t1 <  t2  < ... < tm-1  <  tm  = 1.

 

65-6665-6665-66Положим:

 

      Ni,1 (t) = 1 ,    t Π [ ti , ti+1 ],

 

65-66      Ni,1 (t) = 0,     t Ï  [ ti , ti+1 ]                                               O       ti                ti+1  t

 

  и далее                                                     Рис.15. График функции Ni,1(t)

 

                            t - ti                                  t i+q   - t

65-6665-66        Ni,q(t) =                        * N i,q-1 (t) +                         * Ni+1,q-1(t).                   (*)

                           ti+q-1 - ti                              t i+q  - ti+1

  

65-66

          Это так называемая рекуррентная форма задания функций. Для q = 1 график функции приведен на рис.15 в соответствии с ее определением. Как это следует и из определения, в интервале от ti  до ti+1   эта функция – просто постоянная. При q = 2 зависимость от параметра t становится линейной (а не постоянным значением).  Рассмотрим выражение (*) более внимательно. В первом слагаемом первый сомножитель, дробь, есть не что иное, как параметрическое задание прямой (именно прямой, так как параметр t в него входит в первой степени), проходящей при q = 2 через точки (ti, 0),  (ti+1, 1). Из этой прямой второй сомножитель N i,q-1 (t) = Ni,1(t), не равный нулю только внутри интервала [ ti , ti+1 ], «вырезает» отрезок прямой, так как вне интервала он обращает в 0 все первое слагаемое.

 

Рис.16. Вид функции Ni,2(t)

Тот же самый результат можно получить из анализа второго слагаемого в (*). В итоге график функции Ni,2(t) можно представить в виде, представленном на рис.16. Он содержит два линейных участка и строится по трем точкам. Если теперь построить график функции Ni,3(t), то она будет уже квадратичной относительно параметра t, и для ее построения будут использованы 4 точки, и т.д. Для построения функции и соответственно графика  Ni,q для любого q потребуется q + 1 точка, а степень полинома будет q – 1.

Эти функции:

1.  Ni,q(t) > 0   на интервале ( ti , ti+q).

          2.  Ni,q(t) = 0   вне этого интервала.

          3. На всей области задания функция Ni,q(t) (q > 3)  имеет непрерывные производные до порядка q - 2 включительно.

При построении кубического сплайна  должна быть использована функция Ni,4 (t), для которой потребуется пять узлов разбиения

                                         ti , ti+1 , ti+2, ti+3, ti+4

отрезка  [0, 1]. Если узлов не хватает, их набор определенным образом расширяют, например, полагая

                      t-3  = t-2   = t-1 =0,   tm+1   = tm+2  =  tm+3   = 1.

Вводимые дополнительные «отрезки» имеют нулевую длину,  а первоначально первый t = 0 и последний t = 1 узлы становятся кратными.

Для введенных функций сохраняется равенство

                                                               S  N i,q  ( t ) = 1.

Это значит, что кривая, заданная векторным уравнением

                                                            r(t) = S Ni,4(t) * Vi  ,                              (*)

всегда принадлежит выпуклой оболочке  вершин  массива.  Кроме того, оказывается, что она выходит из точки   V0   и приходит в точку Vm , касаясь соответствующих отрезков.

Сохраняется и достаточная гладкость кривой: при q ³ 4 все функциональные  коэффициенты  имеют  непрерывные  вторые производные,  что достаточно для большинства практических задач. Далее принимается  q = 4.

Изменение положения одной вершины в массиве уже  не  приводит  к полному изменению всей кривой; в силу свойств функциональных коэффициентов пересчет коснется лишь пяти слагаемых.

Определяемый (*) отрезок кривой лежит внутри их выпуклой оболочки - четырехугольника в плоском случае и тетраэдра в  пространственном.

          Иногда построенная кривая по каким-то соображениям не устраивает нас,  и  мы хотим подправить результат.  Это можно сделать с помощью параметров,  вводимых в уравнение кривой. Для этого используются так называемые  бета-сплайны,  при  этом используется несколько иной подход - с так называемыми составными кривыми.

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика