ivanstudent

Путь к Файлу: /Введение в компьютерную графику / 15 / 67-68.DOC

Ознакомиться или скачать весь учебный материал данного пользователя
Скачиваний:   1
Пользователь:   ivanstudent
Добавлен:   24.12.2014
Размер:   29.5 КБ
СКАЧАТЬ

3.7. Бета-сплайны

 

При построении составной регулярной кривой необходимо наряду с непрерывным переходом одного участка кривой в другой обеспечить и гладкость этого сопряжения.

Пусть g1  и  g2 - регулярные кривые, заданные параметрическими уравнениями

 

                        r = r1(t),     0 £ t £ 1,     r = r (t),      0 £ t £ 1

 

соответственно и имеющие общую точку

 

                                                r1 (1) = r2 (0).                  

 

Для того чтобы кривая g, составленная из g1, g2, была регулярной, потребуем совпадения в общей  точке  единичных  касательных векторов

                     r/ (1)          r/ (0)

67-6867-68                                =   

                   ½r/ (1)½       ½r/ (0) ½                                     

 

и векторов кривизны  сопрягаемых кривых   g1 и g2.  Штрих означает производную по параметру t .

Оказывается, если радиусы-векторы кривых g1 и g2 связаны условиями геометрической непрерывности

 

                              r2 (0) = r1 (1),       r2 (0) = b1 r1 (1),

  r2 (0) =  b1  r1 (1) + b2 r1 (1),                                       (1)

 

где b1 > 0,  b2 ³ 0 - числовые параметры, то каждое из условий  регулярности составной кривой будет выполнено.

          Рассмотрим набор из m + 1 точек  V0 , V1  ,..., Vm-1, Vm , заданных своими радиусами-векторами.

Будем искать сглаживающую составную регулярную кривую   при помощи частичных кривых   ri(t),  описываемых уравнениями вида

 

                      ri (t) = S  bj (t)*Vij  ,  0 £ t £ 1,                               (2)

где   

 

bj (t) = S Ckj (b1  , b2 ) t,  j = -2, -1, 0, 1                   (3)

 

- не зависящие от i  весовые функциональные коэффициенты.

Для того  чтобы  найти эти весовые коэффициенты,  потребуем, чтобы векторы ri(t), ri+1(t)  в точке сопряжения удовлетворяли условиям непрерывности (1). С учетом (2) это можно записать:

 

Sbj(0)Vi+1+j = Sbj(1)Vi+j,  Sbj(0)Vi+j+1 = b1Sbj(1)Vi+j,                       (4)

          Sbj(0)Vi+j+1 = b1Sbj(1)Vi+j  +  b2Sbj(1)Vi+j,

 

что позволяет найти все функциональные коэффициенты:

 

                                       bj(t), j = -2, -1, 0, 1.

 

Расписав, например, первое из равенств (4) подробнее:

 

                             b-2(0)Vi-1 + b-1(0)Vi + b0(0)Vi+1 + b1(0)Vi+2  =

                             b-2(1)Vi-2 + b-1(1)Vi-1 + b0(1)Vi + b1(1)Vi+1,

 

и приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах, получим

 

          b-2(1)=0; b-2(0)=b-1(1); b-1(0)=b0(1); b0(0)=b1(1); b1(0)=0.

 

Подобным образом из двух других равенств (3) получаются соотношения, связывающие значения в точках 0 и 1 первых и вторых производных весовых коэффициентов. В итоге после привлечения (3) получается линейная система для искомых чисел Ckj, определитель которой

                  

                                      d=2b1+4b1+4b1+b2+2>0.

 

Вычислим коэффициенты  и подставим их в (3),  тогда найденные выражения для весовых функций будут

 

                   b-2(t) =2 b1(1-t) /d, 

                   b-1(t) = [2b1 t(t -3t+3) +2b1(t -3t +2) +2b1(t -3t+2)+

                    b2(2t -3t +1)] /d,

         b0(t) = [2b1 t (3-t) + 2b1t(3-t )+b2t(3-2t)+2(1-t )]/d,

                   b1(t) = 2t /d ,

 

причем они годятся для всей конструкции. Подставляя их в (2), получаем значения векторных функций   ri(t).

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика