Скачиваний:   0
Пользователь:   prepod
Добавлен:   29.12.2015
Размер:   200.5 КБ
СКАЧАТЬ

 

Тема№ 5. „Планування   випробувань  при аналізі якості військової продукції  ”

 

Заняття 1. Лекція  на тему: „Планування   випробувань   військової   продукції  при   оцінюванні   її  якості  ”

 

 

Навчальні   питання   :

1. Повний   факторний   експеримент   типу  Zanjattja_1_Lcija.

2. Дрібний   факторний   експеримент   типу  Zanjattja_1_Lcija .   

 

 

1. Повний факторний експеримент типу 2n

 

 

Характерною особливістю розглянутих вище статистичних методів оцінювання показників якості військової продукції або її відповідності заданим вимогам є те, що умови випробувань фіксовані.

Проте на практиці часто виникають ситуації, коли потрібно оцінити якість військової продукції або перевірити її відповідність заданим вимогам у деякому діапазоні цих умов. Наприклад, перевірити якість продукції у деякому діапазоні кліматичних умов (температура, вологість повітря, атмосферний тиск), вібраційних навантажень, інтенсивності експлуатації, зовнішнього впливу та ін.

Проблема полягає в тому, що план, у якому по черзі варіюються всі умови випробувань, надто переобтяжується великою кількістю випробувань. Так, якщо чинників 10 і кожний із них варіюється на 3 – 4 рівнях, то отримаємо 30 – 40 випробувань. Причому точність оцінок впливу кожного чинника визначатиметься всього 3 – 4 випробуваннями.

Крім того, необхідно вибрати умови проведення випробувань (значення цих чинників), щоб отримати максимум інформації про показник якості в усьому діапазоні впливаючих чинників.

Тому потрібно скласти такий план випробувань, який би уможливлював оцінку показників якості військової продукції у всьому діапазоні зміни чинників з максимальною інформативністю. Особливо це завдання актуальне, коли вартість випробувань висока або вони мають руйнівний характер.

Таке завдання можливо вирішити в рамках теорії оптимального експерименту.

Аналіз всього різноманіття завдань, які необхідно розв’язувати при оцінюванні якості військової продукції в умовах впливу багатьох чинників, показав, що основними з них є такі:

- перевірка відповідності показників якості в усьому діапазоні умов (чинників);

- оцінка впливу різних чинників на показники якості;

- визначення значень чинників, при яких показники якості найкращі;

- визначення діапазону чинників, де показники якості не нижче заданих та ін.

Вирішення цих завдань можливо за умови розв’язання однієї задачі – побудови аналітичної залежності показника якості від усіх впливаючих чинників:

Zanjattja_1_Lcija,

де Х – вектор чинників.

Тому розв’язання задачі побудови оптимального плану випробувань проводитимемо саме для зазначеної вище задачі. Для цього необхідно задатися критерієм оптимальності залежності Zanjattja_1_Lcija.

Оскільки процедура побудови аналітичної залежності Zanjattja_1_Lcija за результатами випробувань полягає в тому, що спочатку задається вид залежності

Zanjattja_1_Lcija.

Потім за результатами випробувань методом найменших квадратів одержують оцінки вектора коефіцієнтів А. У такому разі критерій оптимальності отриманої залежності можна вибрати один із таких:

1) мінімум дисперсії показника якості Y;

2) мінімум визначника коваріаційної матриці коефіцієнтів А;

3) діагональність коваріаційної матриці коефіцієнтів А (це означає незалежність оцінок коефіцієнтів аi).

Виберемо як критерій діагональність коваріаційної матриці, оскільки незалежність оцінки коефіцієнтів означає, що їх можна трактувати як ступінь впливу цих чинників. Зазначимо, що в загальному випадку при застосуванні методу найменших квадратів величини коефіцієнтів у лінійній залежності Y не характеризують ступеня впливу цих чинників. Отже, маємо дуже важливу властивість отриманої залежності Zanjattja_1_Lcija.

Розв’яжемо задачу для отримання лінійної залежності Y від декількох чинників (х1, х2, … хn), тобто

Zanjattja_1_Lcija,

де х0 = 1 – фіктивний чинник.

Розгорнемо для цієї залежності процедуру методу найменших квадратів.

Після вибору аналітичної залежності складають матрицю випробувань у вигляді

Х = Zanjattja_1_Lcija

Ця матриця практично є планом випробувань, бо показує, скільки випробувань потрібно провести і при яких значеннях усіх чинників.

Результати N випробувань подамо у вигляді вектора Y:

Zanjattja_1_Lcija.

Для визначення значень коефіцієнтів (аi) розв'язується система рівнянь вигляду

Zanjattja_1_Lcija, Zanjattja_1_Lcija,

де Zanjattja_1_Lcija.

Розгорнемо одне з цих рівнянь і отримаємо

Zanjattja_1_Lcija.

Цей вираз дозволяє уявити структуру всіх інших рівнянь системи. Аналізуючи їх структуру, можна зробити певні висновки. Якщо виконуються такі три умови плану випробувань:

1) умова симетричності Zanjattja_1_Lcija, Zanjattja_1_Lcija;

2) умова ортогональності – Zanjattja_1_Lcija, Zanjattja_1_Lcija;

3) умова нормування Zanjattja_1_Lcija, Zanjattja_1_Lcija,

то кожне рівняння набуде вигляду

Zanjattja_1_Lcija.

Звідси формули для розрахунку кожного коефіцієнта шуканої залежності матимуть такий вигляд:

Zanjattja_1_Lcija.

Це означає, що оцінки коефіцієнтів лінійної залежності, яку ми шукаємо, є незалежними.

Якщо розрахувати дисперсію кожного коефіцієнта, то виявиться, що всі дисперсії будуть рівні і визначатимуться виразом

Zanjattja_1_Lcija,

де Dy – дисперсія вимірювання показника якості в одній точці плану.

Це показує, що при оцінці впливу кожного чинника слід проводити всі вимірювання, оскільки це впливає на збільшення точності оцінки.

Детальніші дослідження показують, що цей план забезпечує й мінімальну дисперсію оцінки показника якості. Правда, вона різна в різних точках простору чинників і дорівнює

Zanjattja_1_Lcija.

Таким чином, можна зробити важливий висновок, що для отримання лінійної залежності показника якості від декількох чинників необхідно використовувати ортогональний, симетричний і нормований план випробувань. Цей план буде оптимальним, оскільки дасть найбільшу точність визначення показника якості і дозволить оцінити вплив кожного чинника окремо.

 

 

 

 

Знаючи загальні вимоги, побудуємо оптимальний план випробувань для отримання лінійної залежності. Для цього визначимо потрібну кількість рівнів варіації кожного чинника. Оскільки оцінюється лінійна залежність, то мінімальна кількість рівнів становитиме 2.

Яким чином вибирати ці рівні для кожного чинника? Очевидно, їх слід рознести якнайдалі один від одного, оскільки в цьому випадку точність визначення коефіцієнтів буде найбільшою. Крім того, необхідно забезпечити ортогональність і нормування плану випробувань. Оскільки кожний чинник має різні натуральні одиниці вимірювання, то зрозуміло, що досягти ортогональності неможливо. Тому потрібне якесь перетворення одиниць вимірювання чинників. Це можна зробити за допомогою нормування за формулою

Zanjattja_1_Lcija,

де Рi, сер, Рi, в – середнє і верхнє значення (натуральне ) чинників; Рi – нормоване значення чинників.

Звідси видно, що при нормуванні верхнього і нижнього значення кожного чинника вони набувають значення Zanjattja_1_Lcija. Таке нормування вже дозволяє сподіватися на побудову оптимального плану випробувань.

Побудуємо такий план для двох чинників. Для цього візьмемо перебір варіацій цих чинників на двох рівнях. План матиме такий вигляд:

Х0

Х1

Х2

Y

+1

+1

+1

Y1

+1

–1

+1

Y2

+1

+1

–1

Y3

+1

–1

–1

Y4

Цей план є симетричним, ортогональним і нормованим, тобто оптимальним для лінійної залежності.

За аналогічною схемою міркувань можна побудувати оптимальний план для відшукання лінійної залежності від трьох чинників. Він матиме такий вигляд:

Х1

Х2

Х3

Х0

Y

+1

+1

+1

+1

 

–1

+1

+1

+1

 

+1

–1

+1

+1

 

–1

–1

+1

+1

 

+1

+1

–1

+1

 

–1

+1

–1

+1

 

+1

–1

–1

+1

 

–1

–1

–1

+1

 

Таким чином, ми одержали сімейство оптимальних планів для лінійної залежності, яке називають повним факторним експериментом типу 2n (ПФЕ типу 2n), оскільки вони є перебором варіацій усіх чинників на двох рівнях.

Основним недоліком такого плану є швидке зростання кількості випробувань при зростанні кількості чинників. Дійсно, при 10 чинниках необхідно 1024 випробування. Водночас у залежності потрібно оцінювати всього 11 коефіцієнтів. Як відомо, для застосування методу найменших квадратів для оцінки 11 коефіцієнтів уже підходять плани, що містять понад 11 випробувань, тому доцільно шукати іншу процедуру побудови оптимальних планів для лінійної залежності, яка б містила меншу кількість випробувань, ніж ПФЕ типу 2n.

 

2. Дрібний факторний експеримент типу 2n-p

 

Розглянемо залежність показника якості від трьох чинників. Оптимальним планом для неї є ПФЕ типу 23. Оскільки в цій залежності потрібно оцінити всього 4 коефіцієнти, спробуємо використати план ПФЕ типу 22. Для цього побудуємо стовпець добутку Х1 Х2. Він будується простим перемножуванням стовпців Х1 і Х2.

Цей стовпець виявляється симетричним, нормованим і ортогональним із стовпцями Х1, Х2. Тому його можна використовувати для варіації чинника Х3. Тоді план випробувань для лінійної залежності від трьох чинників матиме такий вигляд:

Х0

Х1

Х2

Х1 × Х2 = Х3

Y

+1

+1

+1

+1

 

+1

–1

+1

–1

 

+1

+1

–1

–1

 

+1

–1

–1

+1

 

Порівнявши цей план із ПФЕ 23, видно, що він є половиною останнього. Звідси назва таких планів – дробовий факторний експеримент (ДФЕ). Таким чином, ми отримали замість повного експерименту чинника інший план, який містить уже меншу кількість випробувань. Аналізуючи методику побудови цього плану, методом індукції можна сформулювати загальне правило побудови дробових планів:

1) визначити кількість коефіцієнтів, яку потрібно відшукати в лінійній залежності m;

2) побудувати ПФЕ типу 2n з умови, що 2n > m;

3) стовпці взаємодій чинників найвищого порядку використовувати для варіації чинників, що залишилися.

Якщо віддано один стовпець (як у нашому прикладі), то дробовий план складатиме половину повного плану. Коли віддано два стовпці, то дробовий план складатиме одну чверть повного плану і т.д.

У кодовому позначенні дробового плану 2n-p величина n позначає загальну кількість чинників, а величина p – кількість стовпців добутків (взаємодій) чинників, які були додані.

Звідси видно, що дробових планів може бути декілька. Дійсно, повний експеримент чинника містить дві половини, чотири чверті і т.д.

Чим же відрізняються дробові плани і який із них слід вибрати? Відповісти на ці запитання можна, проаналізувавши, для яких іще залежностей ПФЕ типу 2n є оптимальним. Для цього скористаємося планом випробувань типу 2n. Побудуємо в ньому стовпці всіх взаємодій чинників у першому степені:

 

Х0

Х1

Х3

Х3

Х1 Х2

Х1 Х3

Х2 Х3

Х1 Х2 Х3

Y

+1

–1

–1

–1

+1

+1

+1

–1

 

+1

+1

–1

–1

–1

–1

+1

+1

 

+1

–1

+1

–1

–1

+1

–1

+1

 

+1

+1

+1

–1

+1

–1

–1

–1

 

+1

–1

–1

+1

+1

–1

–1

+1

 

+1

+1

–1

+1

–1

+1

–1

–1

 

+1

–1

+1

+1

–1

–1

+1

–1

 

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

 

 

Як видно з таблиці, всі стовпці подвійних добутків і потрійного добутку є симетричними, нормованими і ортогональними. Це означає, що ПФЕ типу 2n дозволяє оцінити коефіцієнти не тільки лінійної залежності, але й залежності, що містить ці добутки. Формула для їх розрахунку та ж сама, тільки в ній замість Хij потрібно підставити відповідний добуток. Таким чином, ПФЕ типу 2n є оптимальним планом для ширшого кола залежності.

Якщо ж спробувати побудувати стовпець квадрата будь-якого чинника, то отримаємо стовпець з (+1). Це означає, що вплив квадрата кожного чинника збігається з ефектом постійної складової (Х0), оскільки стовпці у них невиразні. Таким чином, ПФЕ типу 2n не придатний для побудови квадратичної залежності. Це зрозуміло й фізично – за двома точками параболу побудувати неможливо.

Тепер пригадаємо, як ми вибирали дробовий план. Ми віддавали стовпці взаємодій доданим чинникам, тобто свідомо формували систему невиразності (змішування) чинників і добутків чинників. Наприклад, вибирали Х3 = Х1Х2.. Тому різні дробові плани відрізнятимуться один від одного тільки системою змішування чинників і їх взаємодій.

Для того, щоб вибирати той або інший дробовий план, потрібно вміти швидко і зручно аналізувати його систему змішування. Це можна зробити за такою методикою.

1. Записати всі заміни взаємодій чинниками, які називають генерувальними співвідношеннями, наприклад Х3 = Х1Х2..

2. Скласти визначальний контраст, для чого всі генерувальні співвідношення перетворити так, щоб в одній частині стояла (+1). Наприклад, помноживши наведене вище генерувальне співвідношення на Х3, отримаємо

1 = Х1 Х2 Х3.

Якщо при побудові плану було зроблено декілька замін, то визначальний контраст матиме вигляд ланцюгової рівності, один із членів якої дорівнює (+1). Він називається узагальненим визначальним контрастом.

3. Для визначення, з якими взаємодіями буде змішано той або інший чинник, необхідно помножити його на узагальнений визначальний контраст. Отримана рівність дасть відповідь на це запитання.

Таким чином, скоротивши кількість випробувань при відшуканні лінійної залежності від кількох чинників, ми отримали змішування. Воно полягає в тому, що коли цей чинник справді не впливає на показник якості, а впливає змішаний із ним добуток інших чинників, розрізнити цей вплив неможливо.

Хоча таке негативне явище має місце при застосуванні дробових планів, але на практиці дуже часто з фізичних припущень вплив окремих добутків можна виключити. Тоді з’являється можливість вибору таких дробових планів, де всі чинники були б змішані з малозначними взаємодіями, що не б спричиняло б помилок.

Слід зазначити, що хоча на практиці багато залежностей показників якості військової продукції, які ми оцінюємо експериментально, не є лінійними, все ж таки лінійні оптимальні плани мають велике практичне застосування. Це обумовлено насамперед тим, що аналізуючи показник якості військової продукції в достатньо вузькому діапазоні умов, завжди цілком обґрунтоване лінійне наближення його залежності від цих умов. Крім того, воно дає цілком достатньо інформації для практичних дій за результатами оцінювання показника якості.

 

 

 

 

Вище було показано, що повний факторний експеримент типу 2n непридатний для відшукання квадратичної залежності показника якості від чинників, що впливають, через те, що за двома точками неможливо побудувати параболу.

Однак, виходячи з логічних міркувань, можна запропонувати ПФЕ типу 3n. Тоді за кожним фактором матиме місце варіація на трьох рівнях і можна буде визначити параболічну (квадратичну) залежність. Проте у таких планах кількість експериментів зростає ще швидше, ніж у ПФЕ типу 2n.

Другий варіант інтуїтивного підходу до побудови планів для квадратичної залежності полягає в доповненні ПФЕ типу 2n кількома експериментами, а саме: потрібно додати за кожним чинником по два експерименти (+λ), (–λ) та один експеримент у центрі плану. Тоді план експерименту матиме такий вигляд:

Х0

Х1

Х2

Х3

У

+1

+1

+1

+1

 

+1

–1

+1

+1

 

+1

+1

–1

+1

 

+1

–1

–1

+1

 

+1

+1

+1

–1

 

+1

–1

+1

–1

 

+1

+1

–1

–1

 

+1

–1

–1

–1

 

+1

0

0

 

+1

–λ

0

0

 

+1

0

 

+1

0

–λ

0

 

+1

0

0

 

+1

0

0

–λ

 

+1

0

0

0

 

Як видно з таблиці, за кожним чинником у плані забезпечено три рівні варіювання, тому за кожним чинником квадратичний ефект, коли він є, буде виявлено. Величина λ визначається з умови, що план дозволяв незалежно оцінювати всі коефіцієнти квадратичної залежності. Для двох чинників вона дорівнює 1,0, для трьох – 1,215, для чотирьох – 1,414, для п’яти – 1,547.

Такий план називають центральним композиційним планом другого порядку. У загальному випадку він включає кількість випробувань N, де

N = 2n + 2n +1.

Це значно менше, ніж ПФЕ типу 3n, тому такі плани знайшли практичне застосування.

Теорія планування випробувань застосовується також у ситуації, коли показник якості описується деякою відомою нелінійною залежністю, а в процесі випробувань необхідно оцінити параметр цієї залежності.

Нехай ця залежність матиме такий вигляд:

Y = φ(θ, Х).

Тоді у процесі оцінювання якості необхідно визначити параметр θ за результатами випробувань, які подані нижче.

Y

Y1

Y2

Yn

Х

Х1

Х2

Xn

При цьому виникає запитання, як вибрати умови випробувань (Х1, … Хn). Виявляється, їх вибір суттєво впливає на точність оцінювання показника θ, а отже, й показника якості.

Вибір цих умов фізично обґрунтовується такими міркуваннями. Величини Хопт, очевидно, слід вибирати, виходячи з умови, що

Zanjattja_1_Lcija,

тобто у цій точці х, де величина θ найбільше впливає на значення Y.

Крім того, необхідно врахувати точність визначення результатів випробувань (дисперсію) Д{Y(θ,х)}. Вибирати потрібно таку точку Хопт, де Д{Y(θ,х)}= min.

Об’єднуючи ці дві логічно зрозумілі умови та випускаючи строгі математичні викладки, вимоги до вибору оптимальних умов випробувань (Хопт) можна сформулювати у такому вигляді:

Zanjattja_1_Lcija.

Величину М(х) називають інформацією Фішера, яку дають випробування в умовах (х).

Якщо параметрів θ декілька, то замість скалярної величини М(х) матимемо матрицю (інформаційну матрицю Фішера).

Подальші дослідження теорії планування випробувань показали, що кількість оптимальних умов випробувань точно дорівнює кількості параметрів θ. Якщо параметр один, як наприклад у залежності Zanjattja_1_Lcija, то оптимальна точка одна. Коли параметрів два (як у лінійної залежності), то таких точок дві, або параметрів три (як у квадратичній залежності), то таких точок три і т. д.

Це дуже важливе методичне положення теорії планування випробувань дозволяє правильно вибирати умови їх проведення та кількість випробувань і тим самим одержати максимум інформації при заданих затратах на контроль якості.

 

 

Література:

 

1. Л.Е. Басовский , В.Б. Протасьев. Управление качеством. Учебник. М., ИНФРА-М, 2000. с. 194-278

 

 

Наверх страницы

Внимание! Не забудьте ознакомиться с остальными документами данного пользователя!

Соседние файлы в текущем каталоге:

На сайте уже 21970 файлов общим размером 9.9 ГБ.

Наш сайт представляет собой Сервис, где студенты самых различных специальностей могут делиться своей учебой. Для удобства организован онлайн просмотр содержимого самых разных форматов файлов с возможностью их скачивания. У нас можно найти курсовые и лабораторные работы, дипломные работы и диссертации, лекции и шпаргалки, учебники, чертежи, инструкции, пособия и методички - можно найти любые учебные материалы. Наш полезный сервис предназначен прежде всего для помощи студентам в учёбе, ведь разобраться с любым предметом всегда быстрее когда можно посмотреть примеры, ознакомится более углубленно по той или иной теме. Все материалы на сайте представлены для ознакомления и загружены самими пользователями. Учитесь с нами, учитесь на пятерки и становитесь самыми грамотными специалистами своей профессии.

Не нашли нужный документ? Воспользуйтесь поиском по содержимому всех файлов сайта:



Каждый день, проснувшись по утру, заходи на obmendoc.ru

Товарищ, не ленись - делись файлами и новому учись!

Яндекс.Метрика